Em um levantamento por amostragem para estimar a porcentagem de 2.500 clientes de uma loja que estão satisfeitos com o serviço, qual é o tamanho mínimo da amostra simples necessário para obter uma estimativa com um erro amostral não superior a 3%?
A) 539
B) 969
C) 256
D) 769
E) 324
A) 539
B) 969
C) 256
D) 769
E) 324
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir qual o tamanho mínimo da amostra necessário para estimar a porcentagem de clientes satisfeitos numa loja com 2.500 clientes, garantindo que o erro na estimativa não passe de 3%. A matéria envolvida aqui é a Estatística, mais especificamente a amostragem para estimar proporções. Para isso, vamos precisar usar fórmulas que calculam o tamanho da amostra com base no erro máximo permitido, no nível de confiança e no tamanho da população.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que quando queremos estimar uma proporção (como a porcentagem de clientes satisfeitos), usamos a fórmula do tamanho da amostra para proporções. A fórmula básica é:
Onde:
- $ n_0 $ é o tamanho da amostra inicial,
- $ Z $ é o valor da distribuição normal correspondente ao nível de confiança desejado,
- $ p $ é a proporção estimada da população (se não sabemos, usamos 0,5 para maximizar a variabilidade),
- $ e $ é o erro amostral máximo permitido.
Passo 3
Vamos assumir um nível de confiança de 95%, que é padrão na maioria dos estudos. O valor $ Z $ para 95% de confiança é aproximadamente 1,96. Se não temos uma estimativa prévia de $ p $, usamos 0,5 para garantir a amostra mais conservadora. O erro amostral $ e $ é de 3%, ou seja, 0,03.
Plugando esses valores na fórmula:
Então, a amostra inicial é de aproximadamente 1067 pessoas.
Passo 4
No entanto, como a população é finita (2500 clientes), precisamos ajustar esse tamanho de amostra usando a Correção para População Finita. A fórmula ajustada é:
Onde:
- $ N $ é o tamanho da população, que nesse caso é 2500.
Aplicando os valores:
Portanto, precisamos de uma amostra de aproximadamente 749 pessoas.
Passo 5
Agora, vamos verificar as opções disponíveis:
A) 539
B) 969
C) 256
D) 769
E) 324
B) 969
C) 256
D) 769
E) 324
Nosso cálculo deu aproximadamente 749, que está mais próximo de 769. Provavelmente, houve um pequeno arredondamento nas opções, então a melhor escolha é 769.
Resposta
D) 769