Em um levantamento por amostragem para estimar a porcentagem de 2.500 clientes de uma loja que estão satisfeitos com o serviço, qual é o tamanho mínimo da amostra simples necessário para obter uma estimativa com um erro amostral não superior a 3%?
A) 539
B) 969
C) 256
D) 769
E) 324

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir qual o tamanho mínimo da amostra necessário para estimar a porcentagem de clientes satisfeitos numa loja com 2.500 clientes, garantindo que o erro na estimativa não passe de 3%. A matéria envolvida aqui é a Estatística, mais especificamente a amostragem para estimar proporções. Para isso, vamos precisar usar fórmulas que calculam o tamanho da amostra com base no erro máximo permitido, no nível de confiança e no tamanho da população.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que quando queremos estimar uma proporção (como a porcentagem de clientes satisfeitos), usamos a fórmula do tamanho da amostra para proporções. A fórmula básica é:
n0 = Z^2 cdot p cdot (1 - p)e^2
Onde:
  • $ n_0 $ é o tamanho da amostra inicial,
  • $ Z $ é o valor da distribuição normal correspondente ao nível de confiança desejado,
  • $ p $ é a proporção estimada da população (se não sabemos, usamos 0,5 para maximizar a variabilidade),
  • $ e $ é o erro amostral máximo permitido.

Passo 3

Vamos assumir um nível de confiança de 95%, que é padrão na maioria dos estudos. O valor $ Z $ para 95% de confiança é aproximadamente 1,96. Se não temos uma estimativa prévia de $ p $, usamos 0,5 para garantir a amostra mais conservadora. O erro amostral $ e $ é de 3%, ou seja, 0,03.
Plugando esses valores na fórmula:
Z
Então, a amostra inicial é de aproximadamente 1067 pessoas.

Passo 4

No entanto, como a população é finita (2500 clientes), precisamos ajustar esse tamanho de amostra usando a Correção para População Finita. A fórmula ajustada é:
n = n01 + n0 - 1N
Onde:
  • $ N $ é o tamanho da população, que nesse caso é 2500.
Aplicando os valores:
N
Portanto, precisamos de uma amostra de aproximadamente 749 pessoas.

Passo 5

Agora, vamos verificar as opções disponíveis:
A) 539
B) 969
C) 256
D) 769
E) 324
Nosso cálculo deu aproximadamente 749, que está mais próximo de 769. Provavelmente, houve um pequeno arredondamento nas opções, então a melhor escolha é 769.

Resposta

D) 769

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