Uma liga de cobre possui um módulo de elasticidade de , um limite de escoamento de 330 MPa e um limite de resistência de 350 MPa . (a) Qual é a tensāo necessária para alongar uma barra de 3 m ? (b) Qual é o diametro de uma barra cilindrica que scria necessário para suportar uma força de 22 kN sem escoamento?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está lidando com mecânica dos materiais, especificamente com conceitos de módulo de elasticidade, limite de escoamento e limite de resistência. Para resolver as partes (a) e (b), vamos precisar entender como o material se comporta sob tensão e como calcular a tensão e a área necessária para suportar certas forças.
Passo 2
Parte (a): Qual é a tensão necessária para alongar 1,5 mm uma barra de 3 m?
Primeiro, vamos lembrar que a tensão (σ) pode ser relacionada ao alongamento (ΔL) através da fórmula do módulo de elasticidade (E):
Onde:
é o módulo de elasticidade,
é o alongamento,
é o comprimento original.
Passo 3
Vamos preencher os valores que a gente tem:
Substituindo na fórmula:
Passo 4
Vamos calcular a fração:
Agora multiplicamos pelo módulo de elasticidade:
Passo 5
Convertendo para unidades mais comuns, como megapascais (MPa):
Passo 6
Então, a tensão necessária para alongar a barra de 3 m em 1,5 mm é de 55 MPa.
Passo 7
Parte (b): Qual é o diâmetro de uma barra cilíndrica que é necessário para suportar uma força de 22 kN sem escoamento?
Primeiro, precisamos garantir que a tensão aplicada não ultrapasse o limite de escoamento do material, que é de 330 MPa. A tensão (σ) também pode ser calculada pela fórmula:
Onde:
é a força,
é a área da seção transversal.
Passo 8
Rearranjando a fórmula para encontrar a área:
Vamos converter a força para newtons:
E já temos o limite de escoamento:
Passo 9
Substituindo os valores na fórmula:
Passo 10
Agora, como a barra é cilíndrica, a área da seção transversal é:
Queremos encontrar o diâmetro , então rearranjamos a fórmula:
Passo 11
Substituindo o valor da área:
Passo 12
Convertendo para milímetros:
Resposta
(a) A tensão necessária é de 55 MPa.
(b) O diâmetro da barra cilíndrica deve ser de aproximadamente 9,2 mm para suportar uma força de 22 kN sem escoamento.