Uma liga de cobre possui um módulo de elasticidade de 11 times 10^10 Pa, um limite de escoamento de 330 MPa e um limite de resistência de 350 MPa . (a) Qual é a tensāo necessária para alongar 1,5 mm uma barra de 3 m ? (b) Qual é o diametro de uma barra cilindrica que scria necessário para suportar uma força de 22 kN sem escoamento?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está lidando com mecânica dos materiais, especificamente com conceitos de módulo de elasticidade, limite de escoamento e limite de resistência. Para resolver as partes (a) e (b), vamos precisar entender como o material se comporta sob tensão e como calcular a tensão e a área necessária para suportar certas forças.

Passo 2

Parte (a): Qual é a tensão necessária para alongar 1,5 mm uma barra de 3 m?
Primeiro, vamos lembrar que a tensão (σ) pode ser relacionada ao alongamento (ΔL) através da fórmula do módulo de elasticidade (E):
σ = E times ΔLL
Onde:
  • é o módulo de elasticidade,
  • é o alongamento,
  • é o comprimento original.

Passo 3

Vamos preencher os valores que a gente tem:
  • σ = 11 times 10^10 , Pa times 1,5 times 10^-3 , m3 , m
Substituindo na fórmula:

Passo 4

Vamos calcular a fração:
1,5 times 10^-33 = 0,5 times 10^-3
Agora multiplicamos pelo módulo de elasticidade:
σ = 11 times 10^10 , Pa times 0,5 times 10^-3 = 5,5 times 10^7 , Pa

Passo 5

Convertendo para unidades mais comuns, como megapascais (MPa):
5,5 times 10^7 , Pa = 55 , MPa

Passo 6

Então, a tensão necessária para alongar a barra de 3 m em 1,5 mm é de 55 MPa.

Passo 7

Parte (b): Qual é o diâmetro de uma barra cilíndrica que é necessário para suportar uma força de 22 kN sem escoamento?
Primeiro, precisamos garantir que a tensão aplicada não ultrapasse o limite de escoamento do material, que é de 330 MPa. A tensão (σ) também pode ser calculada pela fórmula:
σ = FA
Onde:
  • é a força,
  • é a área da seção transversal.

Passo 8

Rearranjando a fórmula para encontrar a área:
A = Fσ
Vamos converter a força para newtons:
F = 22 , kN = 22 times 10^3 , N
E já temos o limite de escoamento:
σ = 330 , MPa = 330 times 10^6 , Pa

Passo 9

Substituindo os valores na fórmula:
A = 22 times 10^3 , N330 times 10^6 , Pa = 22330 times 10^-3 , m^2
A = 115 times 10^-3 , m^2 approx 6,67 times 10^-5 , m^2

Passo 10

Agora, como a barra é cilíndrica, a área da seção transversal é:
A = pi times (d2)^2
Queremos encontrar o diâmetro d = 2 times raizApi , então rearranjamos a fórmula:

Passo 11

Substituindo o valor da área:
d = 2 times raiz6,67 times 10^-5 , m^2pi approx 2 times raiz2,12 times 10^-5 , m^2
d approx 2 times 4,6 times 10^-3 , m = 9,2 times 10^-3 , m

Passo 12

Convertendo para milímetros:
d approx 9,2 times 10^-3 , m = 9,2 , mm

Resposta

(a) A tensão necessária é de 55 MPa.
(b) O diâmetro da barra cilíndrica deve ser de aproximadamente 9,2 mm para suportar uma força de 22 kN sem escoamento.

Exercícios relacionados