Determine o ângulo de giro causado pelo mesmo torque T em um eixo cilíndrico sólido com o mesmo comprimento e área de seção transversal.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está nos pedindo. Temos um eixo cilíndrico sólido com um certo comprimento e área de seção transversal. Queremos determinar o ângulo de giro, também conhecido como ângulo de torção, que é causado por um torque T aplicado nesse eixo. Para resolver isso, vamos precisar usar os conceitos de torção em materiais sólidos, especificamente a fórmula que relaciona o torque, as propriedades geométricas do eixo e o ângulo de torção.

Passo 2

Vamos começar identificando a fórmula que relaciona o torque aplicado a um eixo cilíndrico com o ângulo de torção. A fórmula é:
theta = T cdot LJ cdot G
Onde:
  • theta é o ângulo de torção (em radianos).
  • T é o torque aplicado (em Newton-metros, N·m).
  • L é o comprimento do eixo (em metros, m).
  • J é o momento polar de inércia da seção transversal (em metros à quarta potência, m⁴).
  • G é o módulo de elasticidade de cisalhamento do material (em Pascal, Pa).

Passo 3

Primeiro, precisamos calcular o momento polar de inércia J para um eixo cilíndrico sólido. A fórmula para J de um círculo sólido é:
J = pi cdot d^432
Onde d é o diâmetro do eixo. Se não tivermos o diâmetro, podemos relacionar a área da seção transversal A a partir de A = pi cdot d^24 e resolver para d.

Passo 4

Vamos supor que a área da seção transversal A seja conhecida. Primeiramente, expressamos o diâmetro d em termos de A:
A = pi cdot d^24 implies d = raiz4Api
Agora substituímos d na fórmula de J:
J = pi cdot (raiz4Api)^432 = pi cdot (4Api)^232 = pi cdot 16A^2pi^232 = 16A^232pi = A^22pi

Passo 5

Agora que temos J em termos de A, podemos substituir na fórmula do ângulo de torção:
theta = T cdot L(A^22pi) cdot G = 2pi T LA^2 G

Passo 6

Finalmente, podemos reorganizar a expressão para facilitar o cálculo:
theta = 2pi T LA^2 G
Portanto, o ângulo de giro theta causado pelo torque T em um eixo cilíndrico sólido é dado pela fórmula acima.

Resposta

O ângulo de giro causado pelo torque T no eixo cilíndrico sólido é:
theta = 2pi T LA^2 G

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