lim x 13 3 x^2+2 x-19 x^2-1

Passo 1

Vamos resolver o limite lim x 13 3 x^2+2 x-19 x^2-1. Esse exercício está relacionado ao cálculo de limites, uma área que estuda o comportamento das funções quando os valores de entrada se aproximam de um ponto específico. Para resolver, vamos substituir o valor de x na função e simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir x = 13 na expressão do numerador e do denominador para ver se conseguimos encontrar o limite diretamente.
Numerador:
3 (13)^2 + 2 (13) - 1 = 3 cdot 19 + 23 - 1 = 13 + 23 - 1 = 1 - 1 = 0
Denominador:
9 (13)^2 - 1 = 9 cdot 19 - 1 = 1 - 1 = 0
Obtemos uma forma indeterminada 00, o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Quando encontramos a forma 00, uma estratégia comum é fatorar o numerador e o denominador para cancelar termos iguais. Vamos começar fatorando o numerador 3x^2 + 2x - 1.

Passo 4

Para fatorar 3x^2 + 2x - 1, buscamos dois números que multiplicados dão 3 cdot (-1) = -3 e que somados dão 2. Esses números são 3 e -1. Então, reescrevemos o polinômio assim:
3x^2 + 3x - x - 1 = (3x^2 + 3x) - (x + 1) = 3x(x + 1) -1(x +1) = (3x -1)(x +1)

Passo 5

Agora, vamos fatorar o denominador 9x^2 -1. Isso é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada usando a fórmula a^2 - b^2 = (a - b)(a + b). Aqui, a = 3x e b =1.
Então,
9x^2 -1 = (3x)^2 -1^2 = (3x -1)(3x +1)

Passo 6

Substituindo as fatorações na expressão original, temos:
(3x -1)(x +1)(3x -1)(3x +1)
Podemos cancelar o termo comum (3x -1) no numerador e no denominador:
x +13x +1

Passo 7

Agora, substituímos novamente x = 13 na expressão simplificada:
13 +13 cdot 13 +1 = 431 +1 = 432 = 43 cdot 12 = 23

Resposta

O limite é 23.

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