lim x 0 x-1|x|.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular o limite de uma função quando lim x 0 x-1|x| se aproxima de 0. A função dada é:
Aqui, estamos trabalhando com limites e também com o valor absoluto. Para resolver isso, vamos precisar entender como o valor absoluto funciona e como calcular limites laterais (direito e esquerdo).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o valor absoluto. O valor absoluto de |x| = x, & se x >= 0 -x, & se x < 0 , escrito como , é:
Isso significa que dependendo do lado de onde está se aproximando de 0, a expressão muda.

Passo 3

Vamos calcular o limite separando em dois casos: quando x - 1|x| = x - 1x = 1 - 1x se aproxima de 0 pela direita ( lim x 0^+ (1 - 1x) ) e pela esquerda ( 1 - 1x -infty ).
1. Quando x - 1|x| = x - 1-x = -1 + 1x se aproxima de 0 pela direita ( lim x 0^- (-1 + 1x) ):
Nesse caso, -1 + 1x -infty é positivo, então . A expressão fica:
Agora, vamos calcular o limite:
À medida que se aproxima de 0 pela direita, cresce sem limites, ficando cada vez maior. Então:
2. Quando se aproxima de 0 pela esquerda ( ):
Aqui, é negativo, então . A expressão fica:
Calculando o limite:
Quando se aproxima de 0 pela esquerda, também cresce sem limites, mas como é negativo, . Portanto:

Resposta

Como os limites laterais resultaram em lim x 0 x-1|x| = -infty tanto pela direita quanto pela esquerda, concluímos que:

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