lim x 0^+ 1x^tg x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite . Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos sobre funções exponenciais, logaritmos e propriedades de limites.

Passo 2

Vamos reescrever a expressão para facilitar o cálculo. Sabemos que 1x^tan x = e^ - tan x cdot ln x . Então, podemos reescrever a fração assim:

Passo 3

Agora, vamos analisar o que acontece com o expoente - tan x cdot ln x approx -x cdot ln x quando se aproxima de 0 pela direita ( ). Para valores pequenos de , sabemos que . Então, podemos aproximar:

Passo 4

Precisamos calcular o limite de -x cdot ln x = -ln x1x quando limx 0^+ -ln x1x = limx 0^+ -1x-1x^2 = limx 0^+ x = 0 . Sabemos que tende a quando se aproxima de 0, mas como está sendo multiplicado por , temos uma indeterminação do tipo . Para resolver isso, podemos reescrever a expressão:
Agora, aplicamos a regra de L’Hôpital, derivando o numerador e o denominador:

Passo 5

Voltando à expressão original, substituímos o limite que encontramos:
limx 0^+ e^ - tan x cdot ln x = e^0 = 1

Resposta

O limite é igual a 1.

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$$ x \rightarrow 0 $$