Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Aqui, vamos usar conceitos de limites, funções logarítmicas e trigonométricas. Precisamos entender como as funções logarítmicas e seno se comportam perto de zero para encontrar esse resultado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando
está próximo de zero,
pode ser aproximado por
. Isso é baseado na aproximação
para
. Então, podemos substituir
por
e
por
.
Passo 3
Agora, substituindo na expressão do limite, temos:
Passo 4
Vamos desmembrar o logaritmo no numerador usando propriedades dos logaritmos. Sabemos que
. Assim, a expressão fica:
Passo 5
Dividimos cada termo no numerador pelo denominador:
Passo 6
Agora, observamos que
tende a
quando
se aproxima de 0 pela direita. Então,
tende a 0 porque o numerador é uma constante e o denominador vai para
.
Passo 7
Dessa forma, o limite simplifica para:
Resposta
O limite é igual a 1.