lim x 0^+ ln (sen a x)ln (sen x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Aqui, vamos usar conceitos de limites, funções logarítmicas e trigonométricas. Precisamos entender como as funções logarítmicas e seno se comportam perto de zero para encontrar esse resultado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando está próximo de zero, pode ser aproximado por . Isso é baseado na aproximação para . Então, podemos substituir por e por .

Passo 3

Agora, substituindo na expressão do limite, temos:
limx 0^+ ln(a x)ln(x)

Passo 4

Vamos desmembrar o logaritmo no numerador usando propriedades dos logaritmos. Sabemos que limx 0^+ ln a + ln xln x . Assim, a expressão fica:

Passo 5

Dividimos cada termo no numerador pelo denominador:
limx 0^+ ( ln aln x + ln xln x ) = limx 0^+ ( ln aln x + 1 )

Passo 6

Agora, observamos que tende a quando se aproxima de 0 pela direita. Então, tende a 0 porque o numerador é uma constante e o denominador vai para .

Passo 7

Dessa forma, o limite simplifica para:
0 + 1 = 1

Resposta

O limite é igual a 1.

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