lim x +infty(2 x-1)^2 / x

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que encontrar o limite quando tende ao infinito da expressão . Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de limites, propriedades de logaritmos e exponenciais. Vamos precisar lembrar como lidar com expressões do tipo quando tende ao infinito e tende a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão de forma que fique mais fácil de trabalhar com limites. Quando temos uma expressão com uma potência que envolve L = limx to +infty (2x - 1)^2x , uma boa estratégia é usar o logaritmo natural. Vamos chamar o limite que queremos encontrar de ln L = limx to +infty 2x cdot ln(2x - 1) :
Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados:

Passo 3

Agora, vamos simplificar ln(2x - 1) approx ln(2x) . Quando ln L = limx to +infty 2x cdot (ln 2 + ln x) tende ao infinito, é aproximadamente igual a . Portanto:
E sabemos que . Substituindo isso na expressão:

Passo 4

Agora, vamos dividir a expressão em duas partes para facilitar o cálculo do limite:
ln L = limx to +infty ( 2 ln 2x + 2 ln xx )
Analisando cada termo:
  1. ln L = 0 + 0 = 0 tende a zero quando tende ao infinito, porque o denominador cresce sem limites.
  2. também tende a zero, já que cresce mais lentamente que .
Portanto:

Resposta

Como limx to +infty (2x - 1)^2x = 1 , temos que .
Então,

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