Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que encontrar o limite quando
tende ao infinito da expressão
. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de limites, propriedades de logaritmos e exponenciais. Vamos precisar lembrar como lidar com expressões do tipo
quando
tende ao infinito e
tende a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a expressão de forma que fique mais fácil de trabalhar com limites. Quando temos uma expressão com uma potência que envolve
, uma boa estratégia é usar o logaritmo natural. Vamos chamar o limite que queremos encontrar de
:
Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados:
Passo 3
Agora, vamos simplificar
. Quando
tende ao infinito,
é aproximadamente igual a
. Portanto:
E sabemos que
. Substituindo isso na expressão:
Passo 4
Agora, vamos dividir a expressão em duas partes para facilitar o cálculo do limite:
Analisando cada termo:
-
tende a zero quando tende ao infinito, porque o denominador cresce sem limites. -
também tende a zero, já que cresce mais lentamente que .
Portanto:
Resposta
Como
, temos que
.
Então,