Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente calcular o limite de
quando
se aproxima de 0. Então, estamos trabalhando com cálculo de limites, e para resolver isso, vamos precisar entender como a função se comporta perto de 0, especialmente porque temos o valor absoluto aí na mistura.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão que queremos calcular:
. Aqui, temos
no numerador e
no denominador.
Passo 3
Vamos simplificar essa expressão. Sabemos que
é sempre positivo, mesmo que
seja negativo, porque qualquer número ao quadrado dá positivo. E
também é sempre positivo ou zero, pois o valor absoluto nunca é negativo.
Então, podemos simplificar:
Agora, note que
é igual a 1 se
for positivo e -1 se
for negativo. Mas, como estamos multiplicando isso por
, a expressão inteira
acaba sendo igual a
.
Portanto:
Passo 4
Agora, queremos encontrar o limite de
quando
se aproxima de 0. A função
simplesmente dá a distância de
até 0 na reta numérica, então conforme
se aproxima de 0 de qualquer lado (positivo ou negativo), o valor de
também se aproxima de 0.
Passo 5
Para confirmar isso, vamos considerar os limites laterais:
- Quando
se aproxima de 0 pela direita ( ):
- Quando
se aproxima de 0 pela esquerda ( ):
Como os dois limites laterais são iguais e valem 0, o limite geral também é 0.
Resposta
Exercícios relacionados
Esboce um gráfico para a função
, com base nas informações obtidas nos itens anteriores.
A função
é contínua? Justifique sua resposta.