Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente calcular o limite de quando se aproxima de 0. Então, estamos trabalhando com cálculo de limites, e para resolver isso, vamos precisar entender como a função se comporta perto de 0, especialmente porque temos o valor absoluto aí na mistura.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão que queremos calcular: . Aqui, temos no numerador e no denominador.

Passo 3

Vamos simplificar essa expressão. Sabemos que é sempre positivo, mesmo que seja negativo, porque qualquer número ao quadrado dá positivo. E também é sempre positivo ou zero, pois o valor absoluto nunca é negativo.
Então, podemos simplificar:
Agora, note que é igual a 1 se for positivo e -1 se for negativo. Mas, como estamos multiplicando isso por , a expressão inteira acaba sendo igual a .
Portanto:

Passo 4

Agora, queremos encontrar o limite de quando se aproxima de 0. A função simplesmente dá a distância de até 0 na reta numérica, então conforme se aproxima de 0 de qualquer lado (positivo ou negativo), o valor de também se aproxima de 0.

Passo 5

Para confirmar isso, vamos considerar os limites laterais:
  • Quando se aproxima de 0 pela direita ( ):
  • Quando se aproxima de 0 pela esquerda ( ):
Como os dois limites laterais são iguais e valem 0, o limite geral também é 0.

Resposta

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Esboce um gráfico para a função , com base nas informações obtidas nos itens anteriores.
A função é contínua? Justifique sua resposta.