Esboce um gráfico para a função
, com base nas informações obtidas nos itens anteriores.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos desenhar o gráfico de uma função
usando as informações que temos dos itens anteriores. Geralmente, para esboçar o gráfico de uma função, precisamos analisar algumas características importantes, como o domínio, interceptos, derivadas, assíntotas, entre outros.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o domínio da função
. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Por exemplo, se
, o domínio seria todos os números reais, exceto
, porque não podemos dividir por zero.
Passo 3
Em seguida, vamos encontrar os interceptos com os eixos
e
.
- O intercepto com o eixo
ocorre quando . Ou seja, calculamos para encontrar esse ponto. - O intercepto com o eixo
ocorre quando . Resolvendo a equação , encontramos os valores de que fazem a função se igualar a zero.
Passo 4
Agora, vamos analisar o comportamento da função para valores grandes de
, tanto positivo quanto negativo. Isso nos ajuda a identificar possíveis assíntotas horizontais ou verticais.
- Assíntotas horizontais acontecem quando
tende ao infinito ou menos infinito, e a função se aproxima de um valor constante. - Assíntotas verticais ocorrem em pontos onde a função tende a mais infinito ou menos infinito, geralmente onde a função não está definida (como em
para ).
Passo 5
Vamos também determinar onde a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, usamos a derivada da função
:
- Se
, a função está crescendo nesse intervalo. - Se
, a função está decrescendo.
Encontramos os pontos onde
para identificar pontos críticos, que podem ser máximos ou mínimos locais.
Passo 6
Com todas essas informações em mãos – domínio, interceptos, assíntotas, e comportamento de crescimento/decrescimento – podemos esboçar o gráfico da função
. Vamos:
- Marcar os interceptos no gráfico.
- Desenhar as assíntotas.
- Indicar as regiões onde a função está crescendo ou decrescendo.
- Conectar os pontos de forma suave, respeitando as características identificadas.
Resposta
Seguindo esses passos, conseguimos esboçar o gráfico da função
com base nas informações fornecidas!
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