Esboce um gráfico para a função , com base nas informações obtidas nos itens anteriores.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos desenhar o gráfico de uma função usando as informações que temos dos itens anteriores. Geralmente, para esboçar o gráfico de uma função, precisamos analisar algumas características importantes, como o domínio, interceptos, derivadas, assíntotas, entre outros.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o domínio da função . O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Por exemplo, se , o domínio seria todos os números reais, exceto , porque não podemos dividir por zero.

Passo 3

Em seguida, vamos encontrar os interceptos com os eixos e .
  • O intercepto com o eixo ocorre quando . Ou seja, calculamos para encontrar esse ponto.
  • O intercepto com o eixo ocorre quando . Resolvendo a equação , encontramos os valores de que fazem a função se igualar a zero.

Passo 4

Agora, vamos analisar o comportamento da função para valores grandes de , tanto positivo quanto negativo. Isso nos ajuda a identificar possíveis assíntotas horizontais ou verticais.
  • Assíntotas horizontais acontecem quando tende ao infinito ou menos infinito, e a função se aproxima de um valor constante.
  • Assíntotas verticais ocorrem em pontos onde a função tende a mais infinito ou menos infinito, geralmente onde a função não está definida (como em para ).

Passo 5

Vamos também determinar onde a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, usamos a derivada da função :
  • Se , a função está crescendo nesse intervalo.
  • Se , a função está decrescendo.
Encontramos os pontos onde para identificar pontos críticos, que podem ser máximos ou mínimos locais.

Passo 6

Com todas essas informações em mãos – domínio, interceptos, assíntotas, e comportamento de crescimento/decrescimento – podemos esboçar o gráfico da função . Vamos:
  1. Marcar os interceptos no gráfico.
  2. Desenhar as assíntotas.
  3. Indicar as regiões onde a função está crescendo ou decrescendo.
  4. Conectar os pontos de forma suave, respeitando as características identificadas.

Resposta

Seguindo esses passos, conseguimos esboçar o gráfico da função com base nas informações fornecidas!

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