Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
. Esse exercício está relacionado aos limites, que fazem parte do estudo de Cálculo Diferencial. Para resolver, vamos precisar entender como manipular expressões envolvendo potências e logaritmos, além de aplicar propriedades de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a expressão para facilitar o cálculo do limite. Sabemos que
pode ser transformado usando a propriedade das potências:
Aqui, utilizamos a identidade
.
Passo 3
Agora, nosso foco é calcular o limite do expoente
conforme
se aproxima de
:
Sabemos que quando
está perto de 0,
pode ser aproximado por
(pois
para
pequeno).
Passo 4
Substituindo essa aproximação na expressão do limite:
Agora, precisamos entender o comportamento de
quando
tende a 0 pela direita.
Passo 5
Considerando que
tende a
conforme
e
tende a 0, temos uma forma indeterminada do tipo
. Para resolver isso, podemos reescrever a expressão como uma divisão:
Agora, aplicamos a regra de L’Hôpital, que é útil para resolver limites que resultam em formas indeterminadas como
.
Passo 6
Aplicando a regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador:
Portanto, o limite de
é 0.
Resposta
O limite
é igual a 1.