lim x 0^+(1+x)^ln x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Esse exercício está relacionado aos limites, que fazem parte do estudo de Cálculo Diferencial. Para resolver, vamos precisar entender como manipular expressões envolvendo potências e logaritmos, além de aplicar propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão para facilitar o cálculo do limite. Sabemos que (1 + x)^ln x = e^ln((1 + x)^ln x) = e^ln x cdot ln(1 + x) pode ser transformado usando a propriedade das potências:
Aqui, utilizamos a identidade .

Passo 3

Agora, nosso foco é calcular o limite do expoente limx to 0^+ ln x cdot ln(1 + x) conforme se aproxima de :
Sabemos que quando está perto de 0, pode ser aproximado por (pois para pequeno).

Passo 4

Substituindo essa aproximação na expressão do limite:
limx to 0^+ ln x cdot x
Agora, precisamos entender o comportamento de quando tende a 0 pela direita.

Passo 5

Considerando que limx to 0^+ ln x1/x tende a conforme e tende a 0, temos uma forma indeterminada do tipo . Para resolver isso, podemos reescrever a expressão como uma divisão:
Agora, aplicamos a regra de L’Hôpital, que é útil para resolver limites que resultam em formas indeterminadas como .

Passo 6

Aplicando a regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador:
limx to 0^+ ddx (ln x)ddx (1/x) = limx to 0^+ 1x-1x^2 = limx to 0^+ -x = 0
Portanto, o limite de é 0.

Resposta

O limite é igual a 1.

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