Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa calcular o limite quando
se aproxima de 0 da expressão:
Aqui, estamos lidando com conceitos de limites e exponenciais, então vamos precisar entender um pouquinho sobre como funcionam os limites e a expansão de séries de Taylor para a função exponencial.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar a análise. Podemos fatorar o
que está em ambas as partes:
Agora, nosso objetivo é simplificar o que está dentro dos parênteses.
Passo 3
Vamos focar na parte dentro dos parênteses:
Para simplificar isso, precisamos ter denominadores iguais. Vamos encontrar um denominador comum, que seria
:
Agora, subtraímos as duas frações:
Passo 4
Agora, substituímos essa simplificação de volta na nossa expressão original:
Para prosseguir, vamos usar a expansão da série de Taylor para
perto de
:
Como estamos calculando o limite quando
se aproxima de 0, podemos ignorar termos de ordem maior que
.
Passo 5
Substituindo a aproximação de
na expressão:
Então, nossa expressão fica:
Observamos que o
no numerador e no denominador cancela:
Passo 6
Agora, podemos calcular o limite quando
se aproxima de 0:
Resposta
O limite é
.