lim x 0(pi4 x-pi2 x(e^pi x+1))

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa calcular o limite quando limx 0(pi4x - pi2x(e^pi x + 1)) se aproxima de 0 da expressão:
Aqui, estamos lidando com conceitos de limites e exponenciais, então vamos precisar entender um pouquinho sobre como funcionam os limites e a expansão de séries de Taylor para a função exponencial.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar a análise. Podemos fatorar o pi4x - pi2x(e^pi x + 1) = pix ( 14 - 12(e^pi x + 1) ) que está em ambas as partes:
Agora, nosso objetivo é simplificar o que está dentro dos parênteses.

Passo 3

Vamos focar na parte dentro dos parênteses:
14 - 12(e^pi x + 1)
Para simplificar isso, precisamos ter denominadores iguais. Vamos encontrar um denominador comum, que seria 14 = e^pi x + 14(e^pi x + 1) :
12(e^pi x + 1) = 24(e^pi x + 1)
e^pi x + 14(e^pi x + 1) - 24(e^pi x + 1) = e^pi x + 1 - 24(e^pi x + 1) = e^pi x - 14(e^pi x + 1)
Agora, subtraímos as duas frações:

Passo 4

Agora, substituímos essa simplificação de volta na nossa expressão original:
pix ( e^pi x - 14(e^pi x + 1) ) = pi (e^pi x - 1)4x(e^pi x + 1)
Para prosseguir, vamos usar a expansão da série de Taylor para e^pi x approx 1 + pi x + (pi x)^22 + dots perto de :
Como estamos calculando o limite quando se aproxima de 0, podemos ignorar termos de ordem maior que .

Passo 5

Substituindo a aproximação de e^pi x - 1 approx pi x na expressão:
e^pi x + 1 approx 2 + pi x
pi (pi x)4x(2 + pi x) = pi^2 x4x(2 + pi x)
Então, nossa expressão fica:
pi^24(2 + pi x)
Observamos que o no numerador e no denominador cancela:

Passo 6

Agora, podemos calcular o limite quando limx 0 pi^24(2 + pi x) = pi^24 cdot 2 = pi^28 se aproxima de 0:

Resposta

O limite é .

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