lim x 2 x 3-3 x 2+x+2 x 3-x-6

Passo 1

Então, vamos resolver o limite quando limx 2 x^3 - 3x^2 + x + 2x^3 - x - 6 se aproxima de 2 para a função:
Aqui, estamos trabalhando com limites de funções polinomiais. Para resolver, vamos precisar substituir o valor de e, se necessário, fatorar os polinômios para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir 2^3 - 3 cdot 2^2 + 2 + 22^3 - 2 - 6 = 8 - 12 + 2 + 28 - 2 - 6 = 00 diretamente na função para ver se conseguimos encontrar o limite:
Aí, deu uma forma indeterminada , o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Quando encontramos uma forma indeterminada como , uma boa estratégia é fatorar tanto o numerador quanto o denominador e ver se conseguimos cancelar algum fator comum.

Passo 4

Vamos fatorar o numerador 1^3 - 3 cdot 1^2 + 1 + 2 = 1 - 3 + 1 + 2 = 1 .
Primeiro, usamos o Teorema do Fator, tentando valores que tornam o polinômio igual a zero. Testando 2^3 - 3 cdot 2^2 + 2 + 2 = 8 - 12 + 2 + 2 = 0 :
x^3 - 3x^2 + x + 2 = (x - 2)(x^2 - x - 1)
Não deu zero. Testando :
Então, é um fator. Usando a divisão polinomial ou a fatoração, temos:

Passo 5

Agora, vamos fatorar o denominador 2^3 - 2 - 6 = 8 - 2 - 6 = 0 .
Testando x^3 - x - 6 = (x - 2)(x^2 + 2x + 3) :
Então, também é um fator do denominador. Fazendo a divisão ou fatoração:

Passo 6

Agora, substituímos as fatorações na expressão original:
limx 2 (x - 2)(x^2 - x - 1)(x - 2)(x^2 + 2x + 3)
Podemos cancelar o fator comum limx 2 x^2 - x - 1x^2 + 2x + 3 :

Passo 7

Agora, substituímos 2^2 - 2 - 12^2 + 2 cdot 2 + 3 = 4 - 2 - 14 + 4 + 3 = 111 na expressão simplificada:

Resposta

O limite quando se aproxima de 2 é .

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