Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite quando se aproxima de 64 da expressão . Estamos trabalhando com cálculo de limites, especificamente lidando com radicais (raízes quadradas e cúbicas). Para resolver isso, vamos precisar simplificar a expressão para eliminar a forma indeterminada .

Passo 2

Primeiro, vamos substituir na expressão para ver o que acontece:
Esse resultado é uma forma indeterminada, o que significa que precisamos de outra abordagem para encontrar o limite.

Passo 3

Quando encontramos uma forma indeterminada , podemos usar a regra de L’Hospital ou tentar fatorar e simplificar a expressão. Neste caso, vamos optar por fatorar os numeradores e denominadores para simplificar.

Passo 4

Vamos reescrever a expressão usando potências fracionárias:
Agora, queremos fatorar as diferenças de potências. Para isso, usamos a fórmula .

Passo 5

Aplicando a fatoração no numerador e denominador:
Para o numerador , consideramos e :
Para o denominador , consideramos e :
Nesse caso, a fatoração direta não simplifica imediatamente, então vamos tentar uma substituição.

Passo 6

Vamos fazer a substituição , o que implica que . Isso transforma a expressão:

Passo 7

Agora, a expressão ficou mais simples: . Vamos fatorar o numerador e o denominador.
Para o numerador , usamos a diferença de cubos:
Para o denominador , usamos a diferença de quadrados:

Passo 8

Substituindo as fatorações na expressão original:
Podemos cancelar o termo que está no numerador e no denominador:

Passo 9

Agora, substituímos de volta e . Primeiro, encontramos quando :
Substituindo na expressão simplificada:

Resposta

O limite quando se aproxima de 64 é igual a 3.

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