lim x 64 vee x-8 raiz 3 x-4

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite quando se aproxima de 64 da expressão . Estamos trabalhando com cálculo de limites, especificamente lidando com radicais (raízes quadradas e cúbicas). Para resolver isso, vamos precisar simplificar a expressão para eliminar a forma indeterminada .

Passo 2

Primeiro, vamos substituir raiz64 - 8raiz[3]64 - 4 = 8 - 84 - 4 = 00 na expressão para ver o que acontece:
Esse resultado é uma forma indeterminada, o que significa que precisamos de outra abordagem para encontrar o limite.

Passo 3

Quando encontramos uma forma indeterminada , podemos usar a regra de L’Hospital ou tentar fatorar e simplificar a expressão. Neste caso, vamos optar por fatorar os numeradores e denominadores para simplificar.

Passo 4

Vamos reescrever a expressão usando potências fracionárias:
x^1/2 - 8x^1/3 - 4
Agora, queremos fatorar as diferenças de potências. Para isso, usamos a fórmula .

Passo 5

Aplicando a fatoração no numerador e denominador:
Para o numerador x^1/2 - 8 = (x^1/2 - 8) , consideramos x^1/3 - 4 = (x^1/3 - 4) e :
Para o denominador , consideramos e :
Nesse caso, a fatoração direta não simplifica imediatamente, então vamos tentar uma substituição.

Passo 6

Vamos fazer a substituição (t^6)^1/2 - 8(t^6)^1/3 - 4 = t^3 - 8t^2 - 4 , o que implica que . Isso transforma a expressão:

Passo 7

Agora, a expressão ficou mais simples: t^3 - 8 = (t - 2)(t^2 + 2t + 4) . Vamos fatorar o numerador e o denominador.
Para o numerador t^2 - 4 = (t - 2)(t + 2) , usamos a diferença de cubos:
Para o denominador , usamos a diferença de quadrados:

Passo 8

Substituindo as fatorações na expressão original:
(t - 2)(t^2 + 2t + 4)(t - 2)(t + 2)
Podemos cancelar o termo t^2 + 2t + 4t + 2 que está no numerador e no denominador:

Passo 9

Agora, substituímos de volta t = raiz[6]64 = 2 e 2^2 + 2 cdot 2 + 42 + 2 = 4 + 4 + 44 = 124 = 3 . Primeiro, encontramos quando :
Substituindo na expressão simplificada:

Resposta

O limite quando se aproxima de 64 é igual a 3.

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