Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite quando
se aproxima de 64 da expressão
. Estamos trabalhando com cálculo de limites, especificamente lidando com radicais (raízes quadradas e cúbicas). Para resolver isso, vamos precisar simplificar a expressão para eliminar a forma indeterminada
.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir
na expressão para ver o que acontece:
Esse resultado é uma forma indeterminada, o que significa que precisamos de outra abordagem para encontrar o limite.
Passo 3
Quando encontramos uma forma indeterminada
, podemos usar a regra de L’Hospital ou tentar fatorar e simplificar a expressão. Neste caso, vamos optar por fatorar os numeradores e denominadores para simplificar.
Passo 4
Vamos reescrever a expressão usando potências fracionárias:
Agora, queremos fatorar as diferenças de potências. Para isso, usamos a fórmula
.
Passo 5
Aplicando a fatoração no numerador e denominador:
Para o numerador
, consideramos
e
:
Para o denominador
, consideramos
e
:
Nesse caso, a fatoração direta não simplifica imediatamente, então vamos tentar uma substituição.
Passo 6
Vamos fazer a substituição
, o que implica que
. Isso transforma a expressão:
Passo 7
Agora, a expressão ficou mais simples:
. Vamos fatorar o numerador e o denominador.
Para o numerador
, usamos a diferença de cubos:
Para o denominador
, usamos a diferença de quadrados:
Passo 8
Substituindo as fatorações na expressão original:
Podemos cancelar o termo
que está no numerador e no denominador:
Passo 9
Agora, substituímos de volta
e
. Primeiro, encontramos
quando
:
Substituindo
na expressão simplificada:
Resposta
O limite quando
se aproxima de 64 é igual a 3.