lim x -infty 4 x-3+|x-1| x+2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
limx -infty 4x - 3 + |x - 1|x + 2
Aqui, estamos lidando com limites no infinito, especificamente quando vai para menos infinito ( ). Vamos precisar entender como a função se comporta quando é muito negativo e simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o valor absoluto |x - 1| = -(x - 1) = -x + 1 . Quando é muito negativo, ou seja, , a expressão dentro do valor absoluto também é negativa porque estamos subtraindo 1 de um número já muito negativo.
Por exemplo, se , então , que é negativo. Então, para valores muito negativos de , podemos simplificar como:

Passo 3

Agora, substituímos essa simplificação na expressão original:
4x - 3 + |x - 1|x + 2 = 4x - 3 + (-x + 1)x + 2
Vamos simplificar o numerador:
4x - 3 - x + 1 = (4x - x) + (-3 + 1) = 3x - 2
Então, a expressão fica:
3x - 2x + 2

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite dessa nova expressão quando limx -infty 3x - 2x + 2 tende a 3xx = 3 :
Quando vai para , os termos constantes (-2 e +2) ficam desprezíveis em comparação com os termos que envolvem . Então, podemos aproximar:

Passo 5

Portanto, o limite é:
limx -infty 3x - 2x + 2 = 3

Resposta

O limite é igual a 3.

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