lim x 0 1-cos (2 x)x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite lim x 0 1-cos (2 x)x^2. Esse exercício está relacionado ao cálculo de limites, uma parte fundamental do cálculo diferencial. Para resolver, vamos precisar entender algumas propriedades das funções trigonométricas e como elas se comportam perto de certos pontos, especialmente quando x se aproxima de 0.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando x está perto de 0, a função cosseno pode ser aproximada usando a série de Taylor. A série de Taylor para cos(x) em torno de 0 é:
cos(x) = 1 - x^22 + x^424 - dots
Como estamos lidando com cos(2x), substituímos x por 2x na série:
cos(2x) = 1 - (2x)^22 + (2x)^424 - dots = 1 - 2x^2 + 4x^43 - dots

Passo 3

Agora, vamos substituir essa expansão no numerador da nossa expressão original:
1 - cos(2x) = 1 - (1 - 2x^2 + 4x^43 - dots) = 2x^2 - 4x^43 + dots

Passo 4

Então, nossa expressão original fica:
1 - cos(2x)x^2 = 2x^2 - 4x^43 + dotsx^2 = 2 - 4x^23 + dots

Passo 5

Agora, ao calcular o limite quando x tende a 0, os termos que contêm x desaparecem, pois x^2 tende a 0. Então, o limite será apenas o termo constante que sobra:
lim x 0 1-cos (2 x)x^2 = 2

Resposta

O limite lim x 0 1-cos (2 x)x^2 é igual a 2.

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