Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Queremos calcular o limite quando
se aproxima de 1 da expressão
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de limites e a regra de L’Hospital, que é útil quando encontramos uma indeterminação.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se substituindo
na expressão obtemos uma indeterminação.
No numerador:
A função ln(0) tende a menos infinito.
No denominador:
Então, temos uma forma indeterminada
, o que nos permite aplicar a regra de L’Hospital.
Passo 3
A regra de L’Hospital diz que se temos um limite na forma
ou
, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente para encontrar o limite.
Vamos derivar o numerador e o denominador em relação a
:
Derivada do numerador
:
Calculando
:
Portanto, a derivada do numerador é:
Derivada do denominador
:
Passo 4
Agora, aplicamos a regra de L’Hospital substituindo as derivadas no limite:
Substituindo
:
Aqui, vemos que o denominador se aproxima de 0, o que nos indica que o limite tende a infinito ou menos infinito, dependendo da direção.
Passo 5
Para determinar para qual infinito o limite está tendendo, analisamos o sinal do denominador próximo a
:
-
Se
se aproxima de 1 pela direita ( ): Então, a expressão tende a. -
Se
se aproxima de 1 pela esquerda ( ): Então, a expressão tende a.
Como os limites laterais são diferentes, o limite geral não existe.
Resposta
O limite não existe porque tende a
pela direita e a
pela esquerda.