lim x 1 ln (x^2+3 x-4)x-1

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Queremos calcular o limite quando se aproxima de 1 da expressão . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de limites e a regra de L’Hospital, que é útil quando encontramos uma indeterminação.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se substituindo ln(1^2 + 3 cdot 1 - 4) = ln(1 + 3 - 4) = ln(0) na expressão obtemos uma indeterminação.
No numerador:
1 - 1 = 0
A função ln(0) tende a menos infinito.
No denominador:
Então, temos uma forma indeterminada , o que nos permite aplicar a regra de L’Hospital.

Passo 3

A regra de L’Hospital diz que se temos um limite na forma ddx ln(u) = u'u, onde u = x^2 + 3x - 4 ou u' = 2x + 3 , podemos derivar o numerador e o denominador separadamente para encontrar o limite.
Vamos derivar o numerador e o denominador em relação a 2x + 3x^2 + 3x - 4 :
Derivada do numerador ddx(x - 1) = 1 :
Calculando :
Portanto, a derivada do numerador é:
Derivada do denominador :

Passo 4

Agora, aplicamos a regra de L’Hospital substituindo as derivadas no limite:
limx 1 2x + 3x^2 + 3x - 4
Substituindo 2 cdot 1 + 31^2 + 3 cdot 1 - 4 = 50 :
Aqui, vemos que o denominador se aproxima de 0, o que nos indica que o limite tende a infinito ou menos infinito, dependendo da direção.

Passo 5

Para determinar para qual infinito o limite está tendendo, analisamos o sinal do denominador próximo a x^2 + 3x - 4 > 0 :
  • Se x^2 + 3x - 4 < 0 se aproxima de 1 pela direita ( ):
    Então, a expressão tende a .
  • Se se aproxima de 1 pela esquerda ( ):
    Então, a expressão tende a .
Como os limites laterais são diferentes, o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe porque tende a pela direita e a pela esquerda.

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