Use o limite fundamental lim h +infty(1+1h)^h=e para calcular os limites: lim x +infty(1+2x)^x=e^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que envolve exponenciais. A gente vai usar o limite fundamental que relaciona uma expressão com . Para isso, precisamos manipular a expressão dada para que fique na mesma forma do limite que conhecemos.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o limite que queremos calcular:
lim x +infty(1+2x)^x
Observe que no limite fundamental, temos , então nosso objetivo é fazer uma conexão entre essas duas expressões.

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para facilitar. Seja (1+2x)^x = (1+22h)^2h = (1+1h)^2h . Então, quando tende ao infinito, também tende ao infinito. Vamos substituir por na expressão original:

Passo 4

Agora, temos a expressão (1+1h)^2h = [(1+1h)^h]^2 . Podemos separar isso da seguinte maneira:

Passo 5

Lembrando do limite fundamental [(1+1h)^h]^2 approx e^2 quando h +infty , podemos substituir na expressão:

Resposta

lim x +infty(1+2x)^x=e^2

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