Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Esse problema está relacionado ao cálculo de limites, especificamente envolvendo funções trigonométricas e exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função cosseno se comporta perto de zero e como manipular expressões com potências.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso quer dizer que estamos aproximando
de zero vindo pela esquerda, ou seja, valores negativos próximos de zero.
Passo 3
Vamos dar uma olhada na expressão dentro do limite:
. Para facilitar, vamos chamar essa expressão de
.
Passo 4
Para resolver limites que envolvem potências, uma técnica útil é usar o logaritmo natural. Vamos aplicar o logaritmo em ambos os lados:
Agora, nosso objetivo é encontrar
.
Passo 5
Vamos expandir a função cosseno usando a série de Taylor perto de zero:
Para valores de
muito próximos de zero, podemos aproximar:
Passo 6
Substituindo essa aproximação na expressão do logaritmo:
Passo 7
Agora, voltamos à expressão de
:
Passo 8
Vamos analisar cada termo separadamente:
-
: À medida que , e pelo lado negativo. Então, . -
: Como , isso equivale a .
Então, combinando os dois termos:
Isso é uma forma indeterminada, mas observando que o primeiro termo cresce para
mais rapidamente que o segundo termo vai para
, concluímos que
.
Passo 9
Agora que sabemos que
, podemos voltar à expressão original:
Resposta
O limite é
.
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(a)
verouino doval
A reta tangente à curva
, no seu ponto
, tem equação