lim x 0^-(1-cos x)^1x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite lim x 0^-(1-cos x)^1x. Esse problema está relacionado ao cálculo de limites, especificamente envolvendo funções trigonométricas e exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função cosseno se comporta perto de zero e como manipular expressões com potências.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa x 0^-. Isso quer dizer que estamos aproximando x de zero vindo pela esquerda, ou seja, valores negativos próximos de zero.

Passo 3

Vamos dar uma olhada na expressão dentro do limite: (1 - cos x)^1x. Para facilitar, vamos chamar essa expressão de f(x) = (1 - cos x)^1x.

Passo 4

Para resolver limites que envolvem potências, uma técnica útil é usar o logaritmo natural. Vamos aplicar o logaritmo em ambos os lados:
ln f(x) = 1x ln(1 - cos x)
Agora, nosso objetivo é encontrar limx 0^- ln f(x).

Passo 5

Vamos expandir a função cosseno usando a série de Taylor perto de zero:
cos x approx 1 - x^22 + x^424 - dots
Para valores de x muito próximos de zero, podemos aproximar:
1 - cos x approx x^22

Passo 6

Substituindo essa aproximação na expressão do logaritmo:
ln(1 - cos x) approx ln(x^22) = ln(x^2) - ln 2 = 2ln|x| - ln 2

Passo 7

Agora, voltamos à expressão de ln f(x):
ln f(x) = 1x (2ln|x| - ln 2) = 2ln|x|x - ln 2x

Passo 8

Vamos analisar cada termo separadamente:
  1. 2ln|x|x: À medida que x 0^-, ln|x| -infty e x 0 pelo lado negativo. Então, -infty0^- = +infty.
  2. ln 2x: Como x 0^-, isso equivale a ln 20^- = -infty.
Então, combinando os dois termos:
+infty - infty
Isso é uma forma indeterminada, mas observando que o primeiro termo cresce para +infty mais rapidamente que o segundo termo vai para -infty, concluímos que ln f(x) +infty.

Passo 9

Agora que sabemos que ln f(x) +infty, podemos voltar à expressão original:
f(x) = e^ln f(x) e^+infty = +infty

Resposta

O limite é +infty.

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