Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse problema está relacionado ao cálculo de limites, especificamente envolvendo funções trigonométricas e exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função cosseno se comporta perto de zero e como manipular expressões com potências.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que estamos aproximando de zero vindo pela esquerda, ou seja, valores negativos próximos de zero.

Passo 3

Vamos dar uma olhada na expressão dentro do limite: . Para facilitar, vamos chamar essa expressão de .

Passo 4

Para resolver limites que envolvem potências, uma técnica útil é usar o logaritmo natural. Vamos aplicar o logaritmo em ambos os lados:
Agora, nosso objetivo é encontrar .

Passo 5

Vamos expandir a função cosseno usando a série de Taylor perto de zero:
Para valores de muito próximos de zero, podemos aproximar:

Passo 6

Substituindo essa aproximação na expressão do logaritmo:

Passo 7

Agora, voltamos à expressão de :

Passo 8

Vamos analisar cada termo separadamente:
  1. : À medida que , e pelo lado negativo. Então, .
  2. : Como , isso equivale a .
Então, combinando os dois termos:
Isso é uma forma indeterminada, mas observando que o primeiro termo cresce para mais rapidamente que o segundo termo vai para , concluímos que .

Passo 9

Agora que sabemos que , podemos voltar à expressão original:

Resposta

O limite é .

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(a)
verouino doval
A reta tangente à curva , no seu ponto , tem equação