Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos o limite de uma função
quando
se aproxima de
(onde
é a base dos logaritmos naturais, aproximadamente 2.718). Estamos trabalhando com o conceito de limites, que é uma ferramenta fundamental no cálculo para entender o comportamento das funções perto de um ponto específico. Para resolver isso, precisamos saber qual é a função
.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar a expressão específica da função
. O limite
nos diz para calcular o valor que
se aproxima quando
está muito perto de
.
Passo 3
Uma vez que tivermos a expressão de
, podemos tentar substituir
por
diretamente na função, se a função for contínua nesse ponto. Se a função não for contínua ou se levar a uma forma indeterminada (como
ou
), podemos precisar usar outras técnicas, como a regra de L’Hôpital ou a fatoração.
Passo 4
Vamos supor que a função
seja contínua em
. Nesse caso, podemos simplesmente substituir
por
na função para encontrar o limite:
Isso significa que o limite é igual ao valor da função em
.
Passo 5
Se a função não for contínua em
ou se a substituição direta resultar em uma forma indeterminada, precisaríamos aplicar uma técnica apropriada para resolver o limite. Por exemplo, se tivermos uma fração onde o numerador e o denominador se aproximam de zero, podemos derivar ambos e aplicar a regra de L’Hôpital:
desde que as derivadas existam e o limite da nova expressão exista.
Resposta
Para determinar
, precisamos conhecer a expressão específica de
. Com essa informação, podemos aplicar as técnicas apropriadas para calcular o limite.
Exercícios relacionados
Determine, se possível, as constantes a e
de modo que
seja contínua em
.
(a)
(a)
Se
, então
é contínua em
? Explique sua resposta.
Determine se o que está estabelecido é Falso (F) ou Verdadeiro (V). Se verdadeiro, explique por quê. Se falso, explique por quê ou dê um contra-exemplo do que está estabelecido.
(a) ( ) , neste caso, dizemos que a reta
é uma assíntota horizontal.
(a) ( )