Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos o limite de uma função quando se aproxima de (onde é a base dos logaritmos naturais, aproximadamente 2.718). Estamos trabalhando com o conceito de limites, que é uma ferramenta fundamental no cálculo para entender o comportamento das funções perto de um ponto específico. Para resolver isso, precisamos saber qual é a função .

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar a expressão específica da função . O limite nos diz para calcular o valor que se aproxima quando está muito perto de .

Passo 3

Uma vez que tivermos a expressão de , podemos tentar substituir por diretamente na função, se a função for contínua nesse ponto. Se a função não for contínua ou se levar a uma forma indeterminada (como ou ), podemos precisar usar outras técnicas, como a regra de L’Hôpital ou a fatoração.

Passo 4

Vamos supor que a função seja contínua em . Nesse caso, podemos simplesmente substituir por na função para encontrar o limite:
Isso significa que o limite é igual ao valor da função em .

Passo 5

Se a função não for contínua em ou se a substituição direta resultar em uma forma indeterminada, precisaríamos aplicar uma técnica apropriada para resolver o limite. Por exemplo, se tivermos uma fração onde o numerador e o denominador se aproximam de zero, podemos derivar ambos e aplicar a regra de L’Hôpital:
desde que as derivadas existam e o limite da nova expressão exista.

Resposta

Para determinar , precisamos conhecer a expressão específica de . Com essa informação, podemos aplicar as técnicas apropriadas para calcular o limite.

Exercícios relacionados

Determine, se possível, as constantes a e de modo que seja contínua em .
(a)
Se , então é contínua em ? Explique sua resposta.
Determine se o que está estabelecido é Falso (F) ou Verdadeiro (V). Se verdadeiro, explique por quê. Se falso, explique por quê ou dê um contra-exemplo do que está estabelecido.
(a) ( ) , neste caso, dizemos que a reta é uma assíntota horizontal.