Se , então é contínua em ? Explique sua resposta.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função definida de forma diferente para e para . O objetivo é descobrir se essa função é contínua no ponto . Para resolver isso, vamos precisar saber o que significa uma função ser contínua em um ponto. Basicamente, uma função é contínua em um ponto se o limite dela quando se aproxima desse ponto for igual ao valor da função naquele ponto.

Passo 2

Vamos começar calculando o limite de quando se aproxima de 3, ou seja, . Como a função é definida de forma diferente para , vamos analisar essa parte:

Passo 3

Para entender melhor, vamos simplificar essa expressão. O valor absoluto depende se é maior ou menor que 3.
  • Se , então . Então,
  • Se , então . Então,

Passo 4

Agora, vamos calcular os limites pela direita e pela esquerda de 3.
  • Limite pela direita ( ):
    Como , .
  • Limite pela esquerda ( ):
    Como , .

Passo 5

Para que a função seja contínua em , os dois limites devem ser iguais e também devem ser iguais ao valor da função naquele ponto, ou seja,
No nosso caso:

Passo 6

Observamos que os limites laterais não são iguais ( e ), então o limite geral não existe. Mesmo que , como o limite não existe, a função não é contínua nesse ponto.

Resposta

Não, a função não é contínua em porque os limites laterais são diferentes e o limite geral não coincide com o valor da função nesse ponto.

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(a)