Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função definida de forma diferente para e para . O objetivo é descobrir se essa função é contínua no ponto . Para resolver isso, vamos precisar saber o que significa uma função ser contínua em um ponto. Basicamente, uma função é contínua em um ponto se o limite dela quando se aproxima desse ponto for igual ao valor da função naquele ponto.
Passo 2
Vamos começar calculando o limite de quando se aproxima de 3, ou seja, . Como a função é definida de forma diferente para , vamos analisar essa parte:
Passo 3
Para entender melhor, vamos simplificar essa expressão. O valor absoluto depende se é maior ou menor que 3.
Se , então . Então,
Se , então . Então,
Passo 4
Agora, vamos calcular os limites pela direita e pela esquerda de 3.
Limite pela direita ():
Como , .
Limite pela esquerda ():
Como , .
Passo 5
Para que a função seja contínua em , os dois limites devem ser iguais e também devem ser iguais ao valor da função naquele ponto, ou seja,
No nosso caso:
Passo 6
Observamos que os limites laterais não são iguais ( e ), então o limite geral não existe. Mesmo que , como o limite não existe, a função não é contínua nesse ponto.
Resposta
Não, a função não é contínua em porque os limites laterais são diferentes e o limite geral não coincide com o valor da função nesse ponto.