Se
, então
é contínua em
? Explique sua resposta.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função
definida de forma diferente para
e para
. O objetivo é descobrir se essa função é contínua no ponto
. Para resolver isso, vamos precisar saber o que significa uma função ser contínua em um ponto. Basicamente, uma função é contínua em um ponto se o limite dela quando
se aproxima desse ponto for igual ao valor da função naquele ponto.
Passo 2
Vamos começar calculando o limite de
quando
se aproxima de 3, ou seja,
. Como a função é definida de forma diferente para
, vamos analisar essa parte:
Passo 3
Para entender melhor, vamos simplificar essa expressão. O valor absoluto
depende se
é maior ou menor que 3.
-
Se
, então . Então, -
Se
, então . Então,
Passo 4
Agora, vamos calcular os limites pela direita e pela esquerda de 3.
-
Limite pela direita (
): Como, . -
Limite pela esquerda (
): Como, .
Passo 5
Para que a função seja contínua em
, os dois limites devem ser iguais e também devem ser iguais ao valor da função naquele ponto, ou seja,
No nosso caso:
Passo 6
Observamos que os limites laterais não são iguais (
e
), então o limite geral
não existe. Mesmo que
, como o limite não existe, a função não é contínua nesse ponto.
Resposta
Não, a função
não é contínua em
porque os limites laterais são diferentes e o limite geral não coincide com o valor da função nesse ponto.