lim x infty(x-x^2 ln (1+1x))

Passo 1

Vamos analisar o limite limx to infty ( x - x^2 ln(1 + 1x) ). Aqui, estamos trabalhando com Cálculo, mais especificamente com limites no infinito e propriedades dos logaritmos. Para resolver, vamos precisar entender a expansão em série de Taylor para o logaritmo próximo de 1.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do limite. Temos uma diferença entre x e x^2 multiplicado pelo logaritmo de 1 + 1x. Nosso objetivo é encontrar uma forma mais simples para calcular o limite quando x cresce para infinito.

Passo 3

Sabemos que para valores de y próximos de 0, o logaritmo pode ser aproximado pela série de Taylor: ln(1 + y) approx y - y^22 + y^33 - dots. No nosso caso, y = 1x, que tende a 0 quando x vai para infinito. Portanto, podemos escrever:
ln(1 + 1x) approx 1x - 12x^2

Passo 4

Agora, substituímos essa aproximação na expressão original:
x^2 ln(1 + 1x) approx x^2 ( 1x - 12x^2 ) = x^2 cdot 1x - x^2 cdot 12x^2 = x - 12

Passo 5

Substituindo de volta na expressão do limite:
x - x^2 ln(1 + 1x) approx x - ( x - 12 ) = 12

Resposta

12

Exercícios relacionados