lim x 0 cotg(x)cotg(2 x)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar o limite quando se aproxima de 0 para a expressão . Aqui, estamos trabalhando com funções trigonométricas e limites.

Passo 2

Vamos relembrar que a cotangente pode ser escrita em termos de seno e cosseno:
cot(x) = cos(x)sin(x)
Então, podemos reescrever a expressão do limite usando essa identidade:
cot(x)cot(2x) = cos(x)sin(x)cos(2x)sin(2x)

Passo 3

Agora, vamos simplificar essa fração dividindo as duas frações:
cos(x)sin(x)cos(2x)sin(2x) = cos(x) cdot sin(2x)sin(x) cdot cos(2x)

Passo 4

Sabemos que sin(2x) = 2 sin(x) cos(x) pode ser expandido usando a identidade trigonométrica:
cos(x) cdot 2 sin(x) cos(x)sin(x) cdot cos(2x) = 2 cos^2(x) sin(x)sin(x) cos(2x)
Substituindo isso na expressão:

Passo 5

Podemos simplificar cancelando 2 cos^2(x)cos(2x) no numerador e denominador:
Agora, lembrando que pode ser escrito como , mas para valores de próximos a 0, se aproxima de 1.

Passo 6

Como 2 cdot 1^21 = 2 está se aproximando de 0, sabemos que e . Substituindo essas aproximações:

Resposta

O limite é igual a .

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