Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar o limite quando
se aproxima de 0 para a expressão
. Aqui, estamos trabalhando com funções trigonométricas e limites.
Passo 2
Vamos relembrar que a cotangente pode ser escrita em termos de seno e cosseno:
Então, podemos reescrever a expressão do limite usando essa identidade:
Passo 3
Agora, vamos simplificar essa fração dividindo as duas frações:
Passo 4
Sabemos que
pode ser expandido usando a identidade trigonométrica:
Substituindo isso na expressão:
Passo 5
Podemos simplificar cancelando
no numerador e denominador:
Agora, lembrando que
pode ser escrito como
, mas para valores de
próximos a 0,
se aproxima de 1.
Passo 6
Como
está se aproximando de 0, sabemos que
e
. Substituindo essas aproximações:
Resposta
O limite é igual a
.