Encontre
e
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a equação:
O objetivo aqui é encontrar as derivadas parciais
e
. Para isso, vamos usar um pouco de cálculo diferencial, mais especificamente a diferenciação implícita, que é útil quando uma variável depende de mais de uma forma e a relação entre elas não está isolada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que
é uma função implícita definida pela equação dada:
Queremos encontrar como
(ou
, se considerarmos
como função de
) muda em relação a
e
. Para isso, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
e depois em relação a
.
Passo 3
Vamos começar diferenciando ambos os lados em relação a
.
A derivada de
em relação a
é:
E a derivada de
em relação a
é:
Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos resolver para
.
Distribuindo o termo do lado esquerdo:
Reunindo os termos com
:
Fatorando
:
Então:
Simplificando os sinais:
Passo 5
Agora, vamos diferenciar ambos os lados da equação original em relação a
para encontrar
, que na verdade é 1, mas neste contexto, vamos seguir o mesmo processo para encontrar consistência.
A derivada de
em relação a
é:
E a derivada de
em relação a
é:
Então, temos:
Passo 6
Na verdade, esse passo confirma que já sabemos a relação entre
e
a partir da equação original. Portanto, utilizamos principalmente a diferenciação em relação a
para encontrar
.
Para
, como
em relação a si mesmo, a derivada é 1.
Resposta
As derivadas parciais são:
e