Encontre partial zpartial x e partial zpartial y.
cos (y-x)=x e^y

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a equação:
cos (y - x) = x e^y
O objetivo aqui é encontrar as derivadas parciais partial zpartial x e partial zpartial y. Para isso, vamos usar um pouco de cálculo diferencial, mais especificamente a diferenciação implícita, que é útil quando uma variável depende de mais de uma forma e a relação entre elas não está isolada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que z é uma função implícita definida pela equação dada:
cos (y - x) = x e^y
Queremos encontrar como z (ou y, se considerarmos y como função de x) muda em relação a x e y. Para isso, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a x e depois em relação a y.

Passo 3

Vamos começar diferenciando ambos os lados em relação a x.
A derivada de cos (y - x) em relação a x é:
-sin(y - x) cdot ( partial ypartial x - 1 )
E a derivada de x e^y em relação a x é:
e^y + x e^y cdot partial ypartial x
Então, temos:
-sin(y - x) cdot ( partial ypartial x - 1 ) = e^y + x e^y cdot partial ypartial x

Passo 4

Agora, vamos resolver para partial ypartial x.
Distribuindo o termo do lado esquerdo:
-sin(y - x) cdot partial ypartial x + sin(y - x) = e^y + x e^y cdot partial ypartial x
Reunindo os termos com partial ypartial x:
-sin(y - x) cdot partial ypartial x - x e^y cdot partial ypartial x = e^y - sin(y - x)
Fatorando partial ypartial x:
( -sin(y - x) - x e^y ) cdot partial ypartial x = e^y - sin(y - x)
Então:
partial ypartial x = e^y - sin(y - x)-sin(y - x) - x e^y
Simplificando os sinais:
partial ypartial x = sin(y - x) - e^ysin(y - x) + x e^y

Passo 5

Agora, vamos diferenciar ambos os lados da equação original em relação a y para encontrar partial ypartial y, que na verdade é 1, mas neste contexto, vamos seguir o mesmo processo para encontrar consistência.
A derivada de cos (y - x) em relação a y é:
-sin(y - x) cdot ( partial ypartial y - 0 ) = -sin(y - x) cdot 1 = -sin(y - x)
E a derivada de x e^y em relação a y é:
x e^y
Então, temos:
-sin(y - x) = x e^y

Passo 6

Na verdade, esse passo confirma que já sabemos a relação entre sin(y - x) e x e^y a partir da equação original. Portanto, utilizamos principalmente a diferenciação em relação a x para encontrar partial ypartial x.
Para partial ypartial y, como y em relação a si mesmo, a derivada é 1.

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial x = sin(y - x) - e^ysin(y - x) + x e^y
e
partial zpartial y = 1

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