Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite quando tende a da expressão . Estamos lidando com Cálculo, mais especificamente com limites envolvendo funções logarítmicas. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções logaritmo se comportam quando seu argumento se aproxima de 1 e como isso interage com o que está indo para o infinito.

Passo 2

Primeiro, observe que quando tende a , o termo tende a 0. Assim, a expressão dentro do logaritmo, , está se aproximando de 1. Sabemos que , mas precisamos entender a taxa com que está se aproximando de 0 para multiplicar por .

Passo 3

Vamos usar uma aproximação para o logaritmo quando seu argumento é próximo de 1. Temos que:
é
No nosso caso, , que é pequeno quando é grande. Portanto:

Passo 4

Agora, substituímos essa aproxima��ão na expressão original:
Isso sugere que o limite é 2. Mas vamos confirmar isso mais rigorosamente usando o conceito de limite.

Passo 5

Para ser mais preciso, podemos aplicar a regra de L’Hôpital, que é útil quando temos uma forma indeterminada como . Reescrevendo a expressão:
Agora, quando , tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0, formando a indeterminação , onde podemos aplicar a regra de L’Hôpital.

Passo 6

Aplicando a regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador em relação a :
Então, o limite se torna:

Passo 7

Dividindo numerador e denominador por :

Resposta

O limite quando tende a da expressão é igual a 2.

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Mostre que as equações abaixo tem exatamente uma raiz real.