lim x +infty x ln (1+2x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite quando tende a da expressão . Estamos lidando com Cálculo, mais especificamente com limites envolvendo funções logarítmicas. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções logaritmo se comportam quando seu argumento se aproxima de 1 e como isso interage com o que está indo para o infinito.

Passo 2

Primeiro, observe que quando tende a , o termo tende a 0. Assim, a expressão dentro do logaritmo, , está se aproximando de 1. Sabemos que , mas precisamos entender a taxa com que está se aproximando de 0 para multiplicar por .

Passo 3

Vamos usar uma aproximação para o logaritmo quando seu argumento é próximo de 1. Temos que:
ln(1 + y) approx y quando y é pequeno é
No nosso caso, ln(1 + 2x) approx 2x , que é pequeno quando é grande. Portanto:

Passo 4

Agora, substituímos essa aproxima��ão na expressão original:
x ln(1 + 2x) approx x cdot 2x = 2
Isso sugere que o limite é 2. Mas vamos confirmar isso mais rigorosamente usando o conceito de limite.

Passo 5

Para ser mais preciso, podemos aplicar a regra de L’Hôpital, que é útil quando temos uma forma indeterminada como limx to +infty x ln(1 + 2x) = limx to +infty ln(1 + 2x)1x . Reescrevendo a expressão:
Agora, quando , tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0, formando a indeterminação , onde podemos aplicar a regra de L’Hôpital.

Passo 6

Aplicando a regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador em relação a Derivada do numerador: ddx ln(1 + 2x) = 11 + 2x cdot (-2x^2) = -2x^2 + 2x :
Derivada do denominador: ddx (1x) = -1x^2
limx to +infty -2x^2 + 2x-1x^2 = limx to +infty 2x^2 + 2x cdot x^21 = limx to +infty 2x^2x^2 + 2x
Então, o limite se torna:

Passo 7

Dividindo numerador e denominador por limx to +infty 21 + 2x = 21 + 0 = 2 :

Resposta

O limite quando tende a da expressão é igual a 2.

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