Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite quando
tende a
da expressão
. Estamos lidando com Cálculo, mais especificamente com limites envolvendo funções logarítmicas. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções logaritmo se comportam quando seu argumento se aproxima de 1 e como isso interage com o
que está indo para o infinito.
Passo 2
Primeiro, observe que quando
tende a
, o termo
tende a 0. Assim, a expressão dentro do logaritmo,
, está se aproximando de 1. Sabemos que
, mas precisamos entender a taxa com que
está se aproximando de 0 para multiplicar por
.
Passo 3
Vamos usar uma aproximação para o logaritmo quando seu argumento é próximo de 1. Temos que:
No nosso caso,
, que é pequeno quando
é grande. Portanto:
Passo 4
Agora, substituímos essa aproxima��ão na expressão original:
Isso sugere que o limite é 2. Mas vamos confirmar isso mais rigorosamente usando o conceito de limite.
Passo 5
Para ser mais preciso, podemos aplicar a regra de L’Hôpital, que é útil quando temos uma forma indeterminada como
. Reescrevendo a expressão:
Agora, quando
, tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0, formando a indeterminação
, onde podemos aplicar a regra de L’Hôpital.
Passo 6
Aplicando a regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador em relação a
:
Então, o limite se torna:
Passo 7
Dividindo numerador e denominador por
:
Resposta
O limite quando
tende a
da expressão
é igual a 2.
Exercícios relacionados
Mostre que as equações abaixo tem exatamente uma raiz real.