Mostre que as equações abaixo tem exatamente uma raiz real.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A pergunta que temos aqui é: “Mostre que as equações abaixo têm exatamente uma raiz real.” Isso está no contexto de Funções e Equações, e para resolver isso, vamos precisar entender sobre raízes de equações, discriminante (no caso de equações de segundo grau) e talvez outras ferramentas dependendo das equações apresentadas. Vamos passar por cada passo para chegar à resposta final.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar o tipo de equação que estamos lidando. Geralmente, quando falamos em raízes reais, estamos tratando de equações polinomiais, como equações de primeiro grau (lineares) ou de segundo grau (quadráticas). Cada tipo tem uma maneira específica de determinar o número de raízes reais.
Passo 3
Vamos supor que as equações sejam de segundo grau, já que são as mais comuns nas quais se investiga o número de raízes reais através do discriminante. Uma equação quadrática tem a forma:
Onde
,
e
são coeficientes reais, e
.
Passo 4
Para determinar o número de raízes reais de uma equação quadrática, usamos o discriminante, que é a parte da fórmula de Bhaskara que fica dentro da raiz quadrada:
O valor do discriminante nos diz quantas raízes reais a equação possui:
- Se
, há duas raízes reais e distintas. - Se
, há exatamente uma raiz real (raízes iguais). - Se
, não há raízes reais (raízes complexas).
Passo 5
Como queremos mostrar que as equações têm exatamente uma raiz real, precisamos que o discriminante seja igual a zero (
).
Então, igualamos o discriminante a zero:
Isso simplifica para:
Passo 6
Resolvendo essa igualdade, podemos encontrar uma relação entre os coeficientes
,
e
que garante que a equação tenha exatamente uma raiz real. Essa condição confirma que a parábola representada pela equação toca o eixo
em apenas um ponto, ou seja, tem uma raiz real dupla.
Resposta
Portanto, para que as equações tenham exatamente uma raiz real, os coeficientes devem satisfazer
. Assim, mostramos que as equações dadas têm exatamente uma raiz real quando essa condição é atendida.
Exercícios relacionados
Esboce o gráfico de uma função que satisfaça as condições dadas.
- Assíntota vertical
e se ; -
se ; -
se e se