Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Esse exercício envolve conhecimento de limites, funções exponenciais e propriedades dos logaritmos. Para resolver, vamos seguir alguns passos básicos e entender cada parte do processo juntos.
Passo 2
Primeiro, vamos observar o que acontece com
e
quando
cresce para mais e mais infinito. A função exponencial
cresce muito mais rápido que qualquer função polinomial como
. Isso significa que, para valores grandes de
,
domina
. Então, podemos dizer que
quando
é muito grande.
Passo 3
Agora, queremos encontrar o limite de
. Para facilitar, vamos tirar o logaritmo natural de ambos os lados. Lembrando que
, temos:
Assim, nosso objetivo agora é encontrar o limite de
.
Passo 4
Como mencionamos no Passo 2,
para
grande. Então, podemos aproximar o logaritmo:
Substituindo na expressão anterior:
Portanto, o limite do logaritmo é 1.
Passo 5
Lembrando que tiramos o logaritmo no Passo 3, precisamos agora reverter essa operação para encontrar o limite original. Sabemos que se
, então
.
Resposta
O limite é igual a
.