Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício envolve conhecimento de limites, funções exponenciais e propriedades dos logaritmos. Para resolver, vamos seguir alguns passos básicos e entender cada parte do processo juntos.

Passo 2

Primeiro, vamos observar o que acontece com e quando cresce para mais e mais infinito. A função exponencial cresce muito mais rápido que qualquer função polinomial como . Isso significa que, para valores grandes de , domina . Então, podemos dizer que quando é muito grande.

Passo 3

Agora, queremos encontrar o limite de . Para facilitar, vamos tirar o logaritmo natural de ambos os lados. Lembrando que , temos:
Assim, nosso objetivo agora é encontrar o limite de .

Passo 4

Como mencionamos no Passo 2, para grande. Então, podemos aproximar o logaritmo:
Substituindo na expressão anterior:
Portanto, o limite do logaritmo é 1.

Passo 5

Lembrando que tiramos o logaritmo no Passo 3, precisamos agora reverter essa operação para encontrar o limite original. Sabemos que se , então .

Resposta

O limite é igual a .

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