lim x +infty x ln xx+ln x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o seguinte limite:
limx +infty x ln xx + ln x
Estamos trabalhando com cálculo de limites, especificamente lidando com funções que crescem ao infinito. Para resolver isso, vamos precisar entender como comparar o crescimento das funções no numerador e no denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento das funções quando tende a . No numerador temos e no denominador .
Sabemos que, para grande, cresce muito mais rápido que . Ou seja, é bem menor comparado a .

Passo 3

Com isso em mente, podemos simplificar a expressão dividindo tanto o numerador quanto o denominador por x ln xx + ln x = x ln x div x(x + ln x) div x = ln x1 + ln xx , que é a maior potência de presente:

Passo 4

Agora, vamos analisar o que acontece com cada parte dessa nova expressão quando tende a :
  • tende a
  • tende a 0, porque cresce muito mais rápido que

Passo 5

Substituindo esses comportamentos na expressão simplificada:
ln x1 + 0 = ln x
Então, a expressão se comporta como quando vai para .

Passo 6

Agora, sabemos que tende a quando tende a . Portanto, o limite original também tende a .

Resposta

limx +infty x ln xx + ln x = +infty

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