lim x 0(e^x+x)^1 / x

Passo 1

Entendendo o problema: A gente precisa calcular o limite de quando se aproxima de 0. Isso envolve exponenciais e limites, então vamos usar algumas técnicas de cálculo para resolver.

Passo 2

Simplificando a expressão: Para facilitar, vamos transformar a expressão em termos de logaritmo natural. Lembra que ln((e^x + x)^1/x) = 1x cdot ln(e^x + x) . Então, podemos escrever:
Isso nos ajuda porque agora podemos lidar com o limite do logaritmo e depois voltar para a expressão original.

Passo 3

Calculando o limite do logaritmo: Agora, precisamos encontrar:
limx to 0 ln(e^x + x)x
Para isso, vamos aproximar e^x + x approx 1 + x + x^22 + x = 1 + 2x + x^22 usando a série de Taylor perto de 0: ln(1 + 2x + x^22) approx 2x + x^22 . Então:
2x + x^22x = 2 + x2
Agora, usando a aproximação limx to 0 ln(e^x + x)x = 2 para pequeno:
Dividindo isso por :
Quando se aproxima de 0, se aproxima de 0, então o limite é:

Passo 4

Voltando para a expressão original: Sabemos que:
ln(L) = 2 Rightarrow L = e^2
Onde é o limite que queremos encontrar.

Resposta

O limite é .

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