lim x +infty(ln xx+1)^prime

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite quando tende a mais infinito da derivada da função . Aqui, estamos lidando com cálculo de limites e derivadas, que são partes fundamentais do cálculo diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . Lembre-se que a derivada de em relação a é , onde é uma função de .

Passo 3

Vamos identificar . Para encontrar , usamos a regra do quociente: se , então .

Passo 4

Calculando :
  • então
  • então
    Assim,

Passo 5

Agora, aplicamos a regra da cadeia para a derivada da função logarítmica:
(ln(xx+1))' = u'u = 1(x + 1)^2xx + 1 = 1(x + 1)^2 cdot x + 1x = 1x(x + 1)

Passo 6

Agora, precisamos encontrar o limite dessa expressão quando limx to +infty 1x(x + 1) tende a mais infinito:
1x(x + 1) = 1x^2 + x
Simplificando:
Quando cresce para infinito, domina sobre , então a expressão se comporta como , que tende a zero.

Resposta

O limite é igual a 0.

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