Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Aqui, estamos lidando com um limite onde
vai para o infinito, e temos uma função exponencial no numerador (
) e um polinômio no denominador (
). Para resolver isso, vamos precisar usar a Regra de L’Hôpital, que é ótima para tratar limites que resultam em formas indeterminadas como
.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se podemos aplicar a Regra de L’Hôpital. Quando
tende a infinito,
também tende a infinito e
também tende a infinito. Então, temos uma forma
, o que significa que podemos usar a Regra de L’Hôpital. Essa regra nos diz que, para calcular o limite de
quando ambos
e
tendem ao infinito, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite novamente.
Passo 3
Vamos aplicar a Regra de L’Hôpital pela primeira vez. Derivando o numerador e o denominador:
Então, o novo limite fica:
Passo 4
Ainda temos uma forma
, então aplicamos a Regra de L’Hôpital novamente. Derivando novamente:
O limite agora é:
Passo 5
Ainda na forma
, aplicamos a Regra de L’Hôpital mais uma vez. Derivando uma terceira vez:
O limite fica então:
Passo 6
Ainda temos
, então vamos aplicar a Regra de L’Hôpital pela quarta vez. Derivando:
Agora, o limite é:
Passo 7
Finalmente, observamos que
tende a infinito quando
tende a infinito, porque
cresce sem limites.