lim x infty e^xx^4

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Aqui, estamos lidando com um limite onde vai para o infinito, e temos uma função exponencial no numerador ( ) e um polinômio no denominador ( ). Para resolver isso, vamos precisar usar a Regra de L’Hôpital, que é ótima para tratar limites que resultam em formas indeterminadas como .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se podemos aplicar a Regra de L’Hôpital. Quando tende a infinito, também tende a infinito e também tende a infinito. Então, temos uma forma , o que significa que podemos usar a Regra de L’Hôpital. Essa regra nos diz que, para calcular o limite de quando ambos e tendem ao infinito, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite novamente.

Passo 3

Vamos aplicar a Regra de L’Hôpital pela primeira vez. Derivando o numerador e o denominador:
f(x) = e^x Rightarrow f'(x) = e^x
g(x) = x^4 Rightarrow g'(x) = 4x^3
Então, o novo limite fica:
lim x infty e^x4x^3

Passo 4

Ainda temos uma forma f'(x) = e^x Rightarrow f''(x) = e^x , então aplicamos a Regra de L’Hôpital novamente. Derivando novamente:
g'(x) = 4x^3 Rightarrow g''(x) = 12x^2
lim x infty e^x12x^2
O limite agora é:

Passo 5

Ainda na forma f''(x) = e^x Rightarrow f'''(x) = e^x , aplicamos a Regra de L’Hôpital mais uma vez. Derivando uma terceira vez:
g''(x) = 12x^2 Rightarrow g'''(x) = 24x
lim x infty e^x24x
O limite fica então:

Passo 6

Ainda temos f'''(x) = e^x Rightarrow f''''(x) = e^x , então vamos aplicar a Regra de L’Hôpital pela quarta vez. Derivando:
g'''(x) = 24x Rightarrow g''''(x) = 24
lim x infty e^x24
Agora, o limite é:

Passo 7

Finalmente, observamos que tende a infinito quando tende a infinito, porque cresce sem limites.

Resposta

lim x infty e^xx^4 = infty

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