lim x 0 e^sin (x)-1x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa limite: lim x 0 e^sin (x)-1x. Aqui a gente está lidando com funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar algumas propriedades dos limites e das séries de Taylor para funções como e^x e sin(x).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando x está perto de 0, sin(x) pode ser aproximado por x. Isso é porque o gráfico de sin(x) é muito parecido com a reta y = x perto de 0. Então, podemos dizer que sin(x) approx x quando x to 0.

Passo 3

Agora, vamos olhar para o e^sin(x). Usando a aproximação que vimos, temos e^sin(x) approx e^x quando x to 0. Sabemos que a série de Taylor para e^x é 1 + x + x^22! + dots, então e^x - 1 approx x + x^22.

Passo 4

Substituindo de volta na nossa expressão original, temos:
e^sin(x) - 1x approx x + x^22x = 1 + x2
Quando x to 0, o termo x2 vai para 0, então a expressão toda vai para 1.

Resposta

O limite é igual a 1.

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