Mostre que <x> é um ideal primo de Z[x], mas não é maximal.
Dica: Prove que Z[x] / <x> ≅ Z.

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão pede. Queremos mostrar que o ideal gerado por em é um ideal primo, mas não é maximal. Para isso, vamos precisar entender o que são ideais primos e maximais, além de usar o conceito de quociente de anéis. A dica sugere provar que é isomorfo a .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um ideal primo. Em um anel, um ideal é primo se, sempre que o produto de dois elementos está em , pelo menos um dos elementos está em . Isso é parecido com números primos na multiplicação.

Passo 3

Agora, vamos ver o que é ser um ideal maximal. Um ideal é maximal se não existe outro ideal que o contenha, exceto o anel todo. Basicamente, é um ideal “tão grande quanto possível” sem ser o próprio anel.

Passo 4

Vamos usar a dica e considerar o anel quociente . Esse quociente consiste em todas as classes de equivalência de polinômios onde dois polinômios são equivalentes se diferem por um múltiplo de .

Passo 5

No quociente , qualquer polinômio pode ser representado apenas por sua parte constante, já que é igual a zero. Portanto, cada elemento desse quociente é essencialmente um número inteiro de .

Passo 6

Isso mostra que é isomorfo a , ou seja, são essencialmente o mesmo anel. Sabendo que é um domínio de integridade, isso implica que é um ideal primo em .

Passo 7

Para ver se é maximal, precisamos verificar se o quociente é um corpo. Como vimos que é isomorfo a , que não é um corpo (possui divisores de zero), concluímos que não é um ideal maximal.

Resposta

O ideal em é um ideal primo, mas não é maximal.

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