Mostre que
é um ideal primo de
, mas não é maximal.
Dica: Prove que
.
Dica: Prove que
Passo 1
Beleza, vamos ver o que a questão pede. Queremos mostrar que o ideal gerado por
em
é um ideal primo, mas não é maximal. Para isso, vamos precisar entender o que são ideais primos e maximais, além de usar o conceito de quociente de anéis. A dica sugere provar que
é isomorfo a
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um ideal primo. Em um anel, um ideal
é primo se, sempre que o produto de dois elementos está em
, pelo menos um dos elementos está em
. Isso é parecido com números primos na multiplicação.
Passo 3
Agora, vamos ver o que é ser um ideal maximal. Um ideal
é maximal se não existe outro ideal que o contenha, exceto o anel todo. Basicamente, é um ideal “tão grande quanto possível” sem ser o próprio anel.
Passo 4
Vamos usar a dica e considerar o anel quociente
. Esse quociente consiste em todas as classes de equivalência de polinômios onde dois polinômios são equivalentes se diferem por um múltiplo de
.
Passo 5
No quociente
, qualquer polinômio pode ser representado apenas por sua parte constante, já que
é igual a zero. Portanto, cada elemento desse quociente é essencialmente um número inteiro de
.
Passo 6
Isso mostra que
é isomorfo a
, ou seja, são essencialmente o mesmo anel. Sabendo que
é um domínio de integridade, isso implica que
é um ideal primo em
.
Passo 7
Para ver se
é maximal, precisamos verificar se o quociente
é um corpo. Como vimos que é isomorfo a
, que não é um corpo (possui divisores de zero), concluímos que
não é um ideal maximal.
Resposta
O ideal
em
é um ideal primo, mas não é maximal.