Use o limite fundamental lim h +infty(1+1h)^h=e para calcular os limites: lim x -infty(1+kx)^x=e^k.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A gente tem que calcular lim x -infty(1+kx)^x utilizando o limite fundamental lim h +infty(1+1h)^h=e. Basicamente, estamos trabalhando com exponenciais e limites no infinito. Vamos precisar manipular a expressão para fazer ela parecer com o limite que já conhecemos.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para facilitar. Seja h = -x. Como x tende a -infty, h vai para +infty. Então, podemos reescrever o limite em termos de h:
lim x -infty(1+kx)^x = lim h +infty(1+k-h)^-h

Passo 3

Simplificando a expressão dentro do limite:
(1+k-h)^-h = (1 - kh)^-h

Passo 4

Agora, vamos reescrever a expressão com uma base positiva. Lembre-se que (1 - kh)^-h = (11 - kh)^h. Mas isso complica mais, então vamos manter a expressão como está e perceber que ela se assemelha ao limite fundamental, mas com um sinal negativo.

Passo 5

Observe que podemos escrever:
(1 - kh)^-h = [(1 - kh)^h]^-1
Mas, sabemos que (1 - kh)^h se assemelha a (1 + -kh)^h, que pelo limite fundamental, tende a e^-k quando h tende a +infty.

Passo 6

Portanto:
[(1 - kh)^h]^-1 (e^-k)^-1 = e^k

Resposta

e^k

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