lim x 0 ln (1+2 x) x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! Aqui, a gente precisa calcular o limite quando se aproxima de 0 da expressão . Esse exercício está ligado ao estudo de limites em Cálculo Diferencial, e vamos precisar entender como funciona o comportamento das funções logarítmicas perto de certos pontos para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um limite. O limite de uma função em um ponto nos diz o valor que a função se aproxima quando a variável independente (nesse caso, ) se aproxima desse ponto. Aqui queremos ver o que acontece com quando vai para 0.

Passo 3

Agora, vamos analisar a função no numerador, limu 0 ln(1 + u)u = 1 . Sabemos que para valores de próximos de 0, também será bem pequeno. Existe uma relação importante que nos ajuda a calcular limites envolvendo logaritmos:

Passo 4

Vamos fazer uma substituição para deixar nosso limite na mesma forma dessa relação. Seja limx 0 ln(1 + 2x)x = limu 0 ln(1 + u)u/2 = limu 0 2 ln(1 + u)u . Quando se aproxima de 0, também se aproxima de 0. Substituindo na nossa expressão original:

Passo 5

Agora, aplicamos a relação que mencionamos no Passo 3:
limu 0 2 ln(1 + u)u = 2 times limu 0 ln(1 + u)u = 2 times 1 = 2

Resposta

O limite é igual a 2.

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