Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Aqui a gente vai trabalhar com cálculo de limites e algumas propriedades de funções logarítmicas e trigonométricas. Vamos precisar lembrar da série de Taylor para
e
para pequenos valores de
.
Passo 2
Primeiro, vamos expandir
usando a série de Taylor perto de
:
Como
está se aproximando de 0, podemos considerar apenas os primeiros termos:
Passo 3
Agora, vamos substituir essa aproximação na função logarítmica:
Para pequenos valores de
, sabemos que
. Aqui,
, então:
Como
está próximo de 0, o termo
é muito pequeno e podemos ignorar para simplificar:
Passo 4
Agora, substituímos essa aproximação no limite original:
Resposta
O limite é
.