lim x 0 ln (cos (x))x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Aqui a gente vai trabalhar com cálculo de limites e algumas propriedades de funções logarítmicas e trigonométricas. Vamos precisar lembrar da série de Taylor para e para pequenos valores de .

Passo 2

Primeiro, vamos expandir cos(x) = 1 - x^22 + x^424 - dots usando a série de Taylor perto de cos(x) approx 1 - x^22 :
Como está se aproximando de 0, podemos considerar apenas os primeiros termos:

Passo 3

Agora, vamos substituir essa aproximação na função logarítmica:
ln(cos(x)) approx ln(1 - x^22)
Para pequenos valores de ln(1 - x^22) approx -x^22 - (-x^22)^22 = -x^22 - x^48 , sabemos que ln(cos(x)) approx -x^22 . Aqui, , então:
Como está próximo de 0, o termo é muito pequeno e podemos ignorar para simplificar:

Passo 4

Agora, substituímos essa aproximação no limite original:
limx 0 ln(cos(x))x^2 approx limx 0 -x^22x^2 = limx 0 -12 = -12

Resposta

O limite é .

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