lim x +infty(2 x-1)^2 / x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos calcular o limite quando tende a mais infinito de . Vamos usar conceitos de limites e logaritmos para resolver isso.

Passo 2

Para facilitar, vamos chamar a expressão do limite de L = limx to +infty (2x - 1)^2/x :
Como está na forma de uma potência, é útil aplicar o logaritmo natural para simplificar.

Passo 3

Aplicamos o logaritmo natural dos dois lados:
ln L = limx to +infty 2x ln(2x - 1)
Isso transforma a potência em um produto, o que facilita o cálculo do limite.

Passo 4

Agora, precisamos calcular o limite de ln(2x - 1) approx ln(2x) = ln 2 + ln x quando tende a mais infinito. Observamos que, para grande, é aproximadamente , então podemos simplificar:

Passo 5

Substituindo de volta na expressão do limite:
ln L = limx to +infty 2x (ln 2 + ln x)
Distribuímos o ln L = limx to +infty ( 2 ln 2x + 2 ln xx ) :

Passo 6

Analisamos cada termo separadamente:
limx to +infty 2 ln 2x = 0
e
limx to +infty 2 ln xx = 0
Porque cresce mais lentamente que , então ambos os limites são zero.

Passo 7

Portanto:
ln L = 0
Para encontrar L = e^0 = 1 , aplicamos a exponencial dos dois lados:

Resposta

O limite é igual a .

Exercícios relacionados