lim x-> 1(root(x, 3)-1) /(sqrt(x)-1)=

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite quando limx to 1 raiz[3]x - 1raizx - 1 se aproxima de 1 da expressão:
Aqui, estamos lidando com limites envolvendo funções de raiz. Para resolver isso, vamos precisar entender como lidar com expressões que podem resultar em uma forma indeterminada como quando substituímos diretamente o valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece se substituirmos raiz[3]1 - 1raiz1 - 1 = 1 - 11 - 1 = 00 diretamente na expressão:
Obtemos a indeterminação , o que significa que precisamos usar uma técnica para resolver esse limite. Uma abordagem útil aqui é fatorar o numerador e o denominador para simplificar a expressão.

Passo 3

Vamos reescrever as raízes como potências fracionárias:
raiz[3]x = x^13 e raizx = x^12
Então, nossa expressão fica:
x^13 - 1x^12 - 1
Para simplificar, vamos usar a fórmula da diferença de potências:
a^n - b^n = (a - b)(a^n-1 + a^n-2b + dots + ab^n-2 + b^n-1)
Aplicando isso ao numerador e denominador:
x^13 - 1 = (x - 1)(x^-23 + x^-13 + 1)
x^12 - 1 = (x - 1)(x^-12 + 1)

Passo 4

Agora, substituímos essas fatorações na expressão original:
(x - 1)(x^-23 + x^-13 + 1)(x - 1)(x^-12 + 1)
Podemos cancelar o termo comum x^-23 + x^-13 + 1x^-12 + 1 no numerador e no denominador:

Passo 5

Agora, substituímos 1^-23 + 1^-13 + 11^-12 + 1 = 1 + 1 + 11 + 1 = 32 nessa expressão simplificada:

Resposta

Portanto, o limite é igual a .

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