ponto ) Usando que , determine uma expressão para a taxa de variação r

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que relaciona o volume com o raio de alguma forma. A fórmula que foi dada é:
Nosso objetivo aqui é encontrar uma expressão para a taxa de variação do raio, ou seja, . Para isso, vamos usar um pouco de cálculo diferencial, especificamente a derivação das funções em relação ao tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a taxa de variação . Ela nos diz como o raio está mudando ao longo do tempo. Para encontrar isso, precisamos relacionar como o volume está mudando com o tempo também, que seria .
Mas, antes de mais nada, vamos derivar a expressão de em relação a .

Passo 3

A equação dada é:
Para achar , vamos aplicar a regra da cadeia, que é usada quando temos uma função composta. Nesse caso, depende de , que por sua vez depende de .
Então, a derivada de em relação a fica:
Simplificando:

Passo 4

Nosso objetivo é encontrar . Então, vamos isolar essa taxa na equação que achamos:
Dividindo ambos os lados por :

Passo 5

Então, a expressão final para a taxa de variação do raio em termos da taxa de variação do volume é:

Resposta

A expressão para a taxa de variação do raio é:

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(0,5 ponto) Se é o instante de tempo em que pi calcule .
->
theta theta -1 theta