ponto ) Usando que
, determine uma expressão para a taxa de variação r
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que relaciona o volume
com o raio
de alguma forma. A fórmula que foi dada é:
Nosso objetivo aqui é encontrar uma expressão para a taxa de variação do raio, ou seja,
. Para isso, vamos usar um pouco de cálculo diferencial, especificamente a derivação das funções em relação ao tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a taxa de variação
. Ela nos diz como o raio
está mudando ao longo do tempo. Para encontrar isso, precisamos relacionar como o volume
está mudando com o tempo também, que seria
.
Mas, antes de mais nada, vamos derivar a expressão de
em relação a
.
Passo 3
A equação dada é:
Para achar
, vamos aplicar a regra da cadeia, que é usada quando temos uma função composta. Nesse caso,
depende de
, que por sua vez depende de
.
Então, a derivada de
em relação a
fica:
Simplificando:
Passo 4
Nosso objetivo é encontrar
. Então, vamos isolar essa taxa na equação que achamos:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 5
Então, a expressão final para a taxa de variação do raio
em termos da taxa de variação do volume
é:
Resposta
A expressão para a taxa de variação do raio é:
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(0,5 ponto) Se
é o instante de tempo em que
pi calcule
.