(0,5 ponto) Se
é o instante de tempo em que
pi calcule
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos que, no instante de tempo
, o volume
de algo é igual a
. Precisamos calcular a derivada de
em relação ao tempo, ou seja,
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo relacionados a derivadas e a fórmula do volume de uma esfera.
Passo 2
Sabemos que o volume
de uma esfera está relacionado ao seu raio
pela fórmula:
Essa é a fórmula que vamos usar para relacionar o volume com o raio.
Passo 3
Para encontrar a taxa de variação do raio em relação ao tempo,
, vamos diferenciar a fórmula do volume em relação ao tempo
. Usando a regra da cadeia, temos:
Aqui,
é exatamente o que queremos encontrar, ou seja,
.
Passo 4
Agora, vamos isolar
na equação acima:
No entanto, para encontrar um valor numérico para
, precisaríamos saber a taxa de variação do volume
no instante
. Como essa informação não foi fornecida, podemos expressar
em termos de
.
Passo 5
Primeiro, vamos encontrar o valor de
quando
usando a fórmula do volume:
Dividindo ambos os lados por
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Então:
Resposta
A derivada
é dada por:
Onde
é a taxa de variação do volume no instante
.