(0,5 ponto) Se T é o instante de tempo em que V(T)=36 pi calcule r'(T).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos que, no instante de tempo T, o volume de algo é igual a . Precisamos calcular a derivada de r em relação ao tempo, ou seja, . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo relacionados a derivadas e a fórmula do volume de uma esfera.

Passo 2

Sabemos que o volume V de uma esfera está relacionado ao seu raio r pela fórmula:
Essa é a fórmula que vamos usar para relacionar o volume com o raio.

Passo 3

Para encontrar a taxa de variação do raio em relação ao tempo, , vamos diferenciar a fórmula do volume em relação ao tempo t. Usando a regra da cadeia, temos:
Aqui, é exatamente o que queremos encontrar, ou seja, .

Passo 4

Agora, vamos isolar na equação acima:
No entanto, para encontrar um valor numérico para , precisaríamos saber a taxa de variação do volume no instante T. Como essa informação não foi fornecida, podemos expressar em termos de .

Passo 5

Primeiro, vamos encontrar o valor de r quando usando a fórmula do volume:
Dividindo ambos os lados por pi:
Multiplicando ambos os lados por 3/4:
Então:

Resposta

A derivada é dada por:
Onde é a taxa de variação do volume no instante T.

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