Se
e
. Prove as seguintes propriedades de limites:
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem duas funções,
e
, e sabemos que quando
se aproxima de
,
se aproxima de
e
se aproxima de
. A tarefa aqui é provar que o limite da soma dessas funções também é a soma dos limites individuais, ou seja:
Para resolver isso, vamos usar as propriedades dos limites, especificamente a propriedade de que o limite da soma é a soma dos limites.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa o limite de uma função. Quando dizemos que
, estamos dizendo que à medida que
se aproxima de
, os valores de
ficam cada vez mais próximos de
. O mesmo vale para
.
Passo 3
Agora, queremos encontrar o limite da soma das duas funções,
. Segundo a propriedade dos limites, se temos dois limites existentes, o limite da soma é igual à soma dos limites individuais. Vamos aplicar isso:
Passo 4
Substituindo os limites que já conhecemos:
Então,