Se lim x p^+ f(x)=0 e exists r>0, tal que f(x)>0, forall x in(p, p+r), prove que
lim x p^+ 1f(x)=+infty

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que, quando se aproxima de pela direita, tende a zero. Além disso, existe um intervalo logo à direita de onde é sempre positivo. Vamos usar conceitos de limites e propriedades de funções para provar que o limite de quando se aproxima de pela direita é mais infinito ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que, à medida que se aproxima de pela direita, os valores de ficam cada vez menores, chegando perto de zero.

Passo 3

Agora, sabemos que para todos no intervalo . Isso é importante porque nos garante que é positivo perto de , então será também positivo.

Passo 4

Vamos lembrar que se tende a zero e é positivo, então tende a um valor muito grande, ou seja, . Isso porque estamos dividindo 1 por um número que fica cada vez menor, fazendo com que o resultado aumente sem limites.

Passo 5

Formalizando isso, para todo número real positivo , podemos encontrar um tal que se , então . Assim, , o que mostra que cresce além de qualquer limite conforme se aproxima de pela direita.

Resposta

Portanto, mostramos que .

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