Se
e
, tal que
, prove que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que, quando
se aproxima de
pela direita,
tende a zero. Além disso, existe um intervalo logo à direita de
onde
é sempre positivo. Vamos usar conceitos de limites e propriedades de funções para provar que o limite de
quando
se aproxima de
pela direita é mais infinito (
).
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso quer dizer que, à medida que
se aproxima de
pela direita, os valores de
ficam cada vez menores, chegando perto de zero.
Passo 3
Agora, sabemos que
para todos
no intervalo
. Isso é importante porque nos garante que
é positivo perto de
, então
será também positivo.
Passo 4
Vamos lembrar que se
tende a zero e é positivo, então
tende a um valor muito grande, ou seja,
. Isso porque estamos dividindo 1 por um número que fica cada vez menor, fazendo com que o resultado aumente sem limites.
Passo 5
Formalizando isso, para todo número real positivo
, podemos encontrar um
tal que se
, então
. Assim,
, o que mostra que
cresce além de qualquer limite conforme
se aproxima de
pela direita.
Resposta
Portanto, mostramos que
.