lim x pi / 2^+ cos x(x-pi / 2)^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício é de cálculo de limites, especificamente envolvendo funções trigonométricas e comportamentos assintóticos. Para resolver, vamos precisar entender o comportamento da função cosseno perto de e como os polinômios no denominador influenciam o limite.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o numerador quando se aproxima de . Sabemos que , então o numerador está tendendo a zero.

Passo 3

Agora, vamos olhar para o denominador . Quando se aproxima de , tende a zero, e ao elevar ao quadrado, continua sendo positivo e tende a zero.

Passo 4

Então, temos uma forma , que é indeterminada. Para resolver esse tipo de limite, normalmente usamos a Regra de L’Hôpital, que permite derivar o numerador e o denominador até que a indeterminação seja resolvida.

Passo 5

Aplicando a Regra de L’Hôpital:
Derivada do numerador: lim x pi / 2^+ -sin x2(x - pi/2)
Derivada do denominador:
Então, o limite se torna:

Passo 6

Agora, avaliamos novamente o limite. Sabemos que , então tende a .
O denominador tende a zero, mas como se aproxima de pela direita ( ), é positivo, então o denominador está se aproximando de zero positivo. Portanto, a fração tende a .

Passo 7

Concluímos que o limite é .

Resposta

lim x pi / 2^+ cos x(x-pi / 2)^2 = -infty

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