Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Esse exercício é de cálculo de limites, especificamente envolvendo funções trigonométricas e comportamentos assintóticos. Para resolver, vamos precisar entender o comportamento da função cosseno perto de
e como os polinômios no denominador influenciam o limite.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o numerador
quando
se aproxima de
. Sabemos que
, então o numerador está tendendo a zero.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o denominador
. Quando
se aproxima de
,
tende a zero, e ao elevar ao quadrado, continua sendo positivo e tende a zero.
Passo 4
Então, temos uma forma
, que é indeterminada. Para resolver esse tipo de limite, normalmente usamos a Regra de L’Hôpital, que permite derivar o numerador e o denominador até que a indeterminação seja resolvida.
Passo 5
Aplicando a Regra de L’Hôpital:
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
Então, o limite se torna:
Passo 6
Agora, avaliamos novamente o limite. Sabemos que
, então
tende a
.
O denominador
tende a zero, mas como
se aproxima de
pela direita (
),
é positivo, então o denominador está se aproximando de zero positivo. Portanto, a fração
tende a
.
Passo 7
Concluímos que o limite é
.
Resposta
Exercícios relacionados
$$
x \rightarrow 0
$$