Em cada um dos itens a seguir, calcule: (i) o gradiente de f; (ii) o gradiente de f em P; (iii) a derivada de f em P na direção do vetor u.
f(x, y) = 5xy^2 - 4x^3y, P = (1, 2), u = (5/13, 12/13)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, o enunciado pede para a gente calcular o gradiente da função , o gradiente dessa função no ponto e a derivada direcional em na direção do vetor . Para isso, vamos precisar entender o que é o gradiente e como calcular derivadas parciais. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de em relação às suas variáveis. No nosso caso, temos duas variáveis: e . Então, vamos calcular e .

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Isso significa que tratamos como uma constante:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Aqui, tratamos como uma constante:

Passo 5

Agora que temos as derivadas parciais, podemos escrever o gradiente de :

Passo 6

Vamos calcular o gradiente no ponto . Substituímos e nas expressões que encontramos:

Passo 7

Agora, vamos calcular a derivada direcional de em na direção do vetor . A derivada direcional é o produto escalar do gradiente no ponto com o vetor direção :

Resposta

(i) O gradiente de é .
(ii) O gradiente de no ponto é .
(iii) A derivada direcional de em na direção de é aproximadamente .

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