Em cada um dos itens a seguir, calcule: (i) o gradiente de
; (ii) o gradiente de
em
; (iii) a derivada de
em
na direção do vetor
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, o enunciado pede para a gente calcular o gradiente da função
, o gradiente dessa função no ponto
e a derivada direcional em
na direção do vetor
. Para isso, vamos precisar entender o que é o gradiente e como calcular derivadas parciais. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de
em relação às suas variáveis. No nosso caso, temos duas variáveis:
e
. Então, vamos calcular
e
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Isso significa que tratamos
como uma constante:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Aqui, tratamos
como uma constante:
Passo 5
Agora que temos as derivadas parciais, podemos escrever o gradiente de
:
Passo 6
Vamos calcular o gradiente no ponto
. Substituímos
e
nas expressões que encontramos:
Passo 7
Agora, vamos calcular a derivada direcional de
em
na direção do vetor
. A derivada direcional é o produto escalar do gradiente no ponto
com o vetor direção
:
Resposta
(i) O gradiente de
é
.
(ii) O gradiente de
no ponto
é
.
(iii) A derivada direcional de
em
na direção de
é aproximadamente
.