lim x 4 raiz1+2 x-3raizx-2

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos o limite:
lim x 4 raiz1+2 x-3raizx-2
Aqui, estamos trabalhando com limites que envolvem raízes quadradas. Para resolver isso, vamos precisar manipular a expressão para simplificar e eliminar a indeterminação que aparece quando substituímos .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos raiz1+2 times 4 - 3raiz4 - 2 = raiz9 - 32 - 2 = 3 - 30 = 00 diretamente na expressão:
Isso nos dá uma forma indeterminada . Então, precisamos manipular a expressão para resolver esse problema.

Passo 3

Para lidar com as raízes quadradas, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador. O conjugado de raiz1+2x - 3raizx - 2 times raiz1+2x + 3raiz1+2x + 3 é . Fazemos isso para eliminar a raiz no numerador:

Passo 4

Vamos multiplicar o numerador e o denominador:
Numerador:
(raiz1+2x - 3)(raiz1+2x + 3) = (raiz1+2x)^2 - 3^2 = (1 + 2x) - 9 = 2x - 8
Denominador:
(raizx - 2)(raiz1+2x + 3)
Então, a expressão fica:
2x - 8(raizx - 2)(raiz1+2x + 3)

Passo 5

Agora, vamos simplificar 2x - 8 = 2(x - 4) :
2(x - 4)(raizx - 2)(raiz1+2x + 3)
Então, substituímos na expressão:

Passo 6

Note que o numerador tem um fator raizx - 2 = x - 4raizx + 2 . Precisamos ver se o denominador também pode ser relacionado a (raizx - 2)(raizx + 2) = x - 4 .
Vamos observar que pode ser reescrito como:
Isso porque multiplicando numerador e denominador por , temos:

Passo 7

Substituindo essa relação na nossa expressão:
2(x - 4)( x - 4raizx + 2 )(raiz1+2x + 3) = 2(x - 4)(x - 4)(raiz1+2x + 3)raizx + 2

Passo 8

Agora, podemos cancelar o fator 2raiz1+2x + 3raizx + 2 = 2 times raizx + 2raiz1+2x + 3 que aparece no numerador e no denominador:

Passo 9

Agora, substituímos 2 times raiz4 + 2raiz1 + 2 times 4 + 3 = 2 times 2 + 2raiz9 + 3 = 2 times 43 + 3 = 2 times 46 = 2 times 23 = 43 na expressão simplificada:

Resposta

lim x 4 raiz1+2 x-3raizx-2 = 43

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