Uma chapa de metal plana jaz em um plano- , de modo que a temperatura seja dada por , em que é expresso em graus e e em centímetros. Ache a taxa instantânea de variação de em relação à distância em na direção do eixo-y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O problema fala sobre uma chapa de metal no plano onde a temperatura é dada por . A gente precisa encontrar a taxa instantânea de variação de na direção do eixo no ponto .
Matéria envolvida: Vamos usar cálculo multivariado, especificamente derivadas parciais e derivada direcional.
O que vamos precisar: Calcular as derivadas parciais de em relação a e , encontrar o vetor gradiente no ponto dado, determinar a direção do eixo como um vetor unitário e, por fim, calcular a derivada direcional usando o produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .
A função é:
Para a derivada parcial em relação a :
E para a derivada parcial em relação a :

Passo 3

Agora, vamos calcular o vetor gradiente de no ponto . O vetor gradiente é dado por:
Substituindo e :
Primeiro, calculamos
Então:
Portanto, o vetor gradiente no ponto é:

Passo 4

A direção do eixo é simplesmente a direção para cima nesse plano. Para representarmos isso como um vetor, usamos:

Passo 5

Antes de calcular a derivada direcional, precisamos garantir que o vetor direção seja um vetor unitário (ou seja, tenha magnitude 1). No nosso caso:
A magnitude de é:
Então, já está normalizado e podemos usá-lo diretamente.

Passo 6

A derivada direcional de na direção de é dada pelo produto escalar entre o vetor gradiente e o vetor direção:
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

A taxa instantânea de variação de na direção do eixo no ponto é graus por centímetro.

Exercícios relacionados

Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função nos pontos e . Existem pontos onde a reta tangente é paralela ao eixo-x? Se sim, determine-os.
Calcule nos seguintes casos:
Nos exercícios de 5 a 42 calcular a derivada.
28.