Uma chapa de metal plana jaz em um plano-
, de modo que a temperatura
seja dada por
, em que
é expresso em graus e
e
em centímetros. Ache a taxa instantânea de variação de
em relação à distância em
na direção do eixo-y
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O problema fala sobre uma chapa de metal no plano
onde a temperatura
é dada por
. A gente precisa encontrar a taxa instantânea de variação de
na direção do eixo
no ponto
.
Matéria envolvida: Vamos usar cálculo multivariado, especificamente derivadas parciais e derivada direcional.
O que vamos precisar: Calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
, encontrar o vetor gradiente no ponto dado, determinar a direção do eixo
como um vetor unitário e, por fim, calcular a derivada direcional usando o produto escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
A função é:
Para a derivada parcial em relação a
:
E para a derivada parcial em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos calcular o vetor gradiente de
no ponto
. O vetor gradiente é dado por:
Substituindo
e
:
Primeiro, calculamos
Então:
Portanto, o vetor gradiente no ponto
é:
Passo 4
A direção do eixo
é simplesmente a direção para cima nesse plano. Para representarmos isso como um vetor, usamos:
Passo 5
Antes de calcular a derivada direcional, precisamos garantir que o vetor direção seja um vetor unitário (ou seja, tenha magnitude 1). No nosso caso:
A magnitude de
é:
Então, já está normalizado e podemos usá-lo diretamente.
Passo 6
A derivada direcional de
na direção de
é dada pelo produto escalar entre o vetor gradiente e o vetor direção:
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
A taxa instantânea de variação de
na direção do eixo
no ponto
é
graus por centímetro.
Exercícios relacionados
Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função
nos pontos
e
. Existem pontos onde a reta tangente é paralela ao eixo-x? Se sim, determine-os.
Calcule
nos seguintes casos:
Nos exercícios de 5 a 42 calcular a derivada.
28.
28.