Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) = x^3 - 3*x^2 + 1 nos pontos (1, f(1)) e (-1, f(-1)). Existem pontos onde a reta tangente é paralela ao eixo-x? Se sim, determine-os.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função nos pontos e . Além disso, precisamos verificar se existe algum ponto onde a reta tangente é paralela ao eixo-x. Para isso, vamos precisar de cálculo diferencial, especificamente de derivadas, que nos dão a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da função.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular e para encontrar as coordenadas dos pontos. Substituindo na função:
Então, o ponto é .
Agora, substituindo :
Então, o segundo ponto é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada da função , que nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto .

Passo 4

Com a derivada em mãos, vamos calcular a inclinação das retas tangentes nos pontos e .
Para :
Para :
Então, as inclinações são -3 e 9 respectivamente.

Passo 5

Agora, usamos a forma da equação da reta tangente:
Para o ponto :
Para o ponto :

Passo 6

Agora, vamos verificar se há pontos onde a reta tangente é paralela ao eixo-x. Isso acontece quando a inclinação da reta tangente é zero, ou seja, quando .
Resolvendo :
Portanto, existem pontos em e onde a reta tangente é paralela ao eixo-x.

Resposta

As equações das retas tangentes são:
  • Em :
  • Em :
Além disso, existem retas tangentes paralelas ao eixo-x nos pontos onde e .

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