Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função
nos pontos
e
. Existem pontos onde a reta tangente é paralela ao eixo-x? Se sim, determine-os.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função
nos pontos
e
. Além disso, precisamos verificar se existe algum ponto onde a reta tangente é paralela ao eixo-x. Para isso, vamos precisar de cálculo diferencial, especificamente de derivadas, que nos dão a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da função.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
e
para encontrar as coordenadas dos pontos. Substituindo
na função:
Então, o ponto é
.
Agora, substituindo
:
Então, o segundo ponto é
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada da função
, que nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto
.
Passo 4
Com a derivada em mãos, vamos calcular a inclinação das retas tangentes nos pontos
e
.
Para
:
Para
:
Então, as inclinações são -3 e 9 respectivamente.
Passo 5
Agora, usamos a forma da equação da reta tangente:
Para o ponto
:
Para o ponto
:
Passo 6
Agora, vamos verificar se há pontos onde a reta tangente é paralela ao eixo-x. Isso acontece quando a inclinação da reta tangente é zero, ou seja, quando
.
Resolvendo
:
Portanto, existem pontos em
e
onde a reta tangente é paralela ao eixo-x.
Resposta
As equações das retas tangentes são:
- Em
: - Em
:
Além disso, existem retas tangentes paralelas ao eixo-x nos pontos onde
e
.
Exercícios relacionados
Calcule
nos seguintes casos:
Seja
. Pede-se: Determine os pontos em que a reta tangente ao gráfico de
é paralelo ao eixo-
;
Uma chapa de metal plana jaz em um plano-
, de modo que a temperatura
seja dada por
, em que
é expresso em graus e
e
em centímetros. Ache a taxa instantânea de variação de
em relação à distância em
na direção do eixo-y