lim x 0 raiz1+x-1-x2x^2

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que calcular o limite quando limx 0 raiz1+x - 1 - x2x^2 se aproxima de 0 da expressão:
Aqui, estamos trabalhando com limites, que é um conceito fundamental em cálculo para entender o comportamento de funções perto de um ponto específico. Para resolver isso, vamos precisar expandir a expressão de uma forma que facilite a simplificação da fração.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir raiz1+x = 1 + x2 - x^28 + dots usando a série de Taylor ou a expansão binomial. A ideia é aproximar a raiz quadrada para valores pequenos de . A expansão até o segundo termo fica assim:
Essa aproximação é válida para próximo de 0 e nos ajuda a simplificar a expressão no numerador.

Passo 3

Agora, vamos substituir essa expansão na expressão original do numerador:
raiz1+x - 1 - x2 = (1 + x2 - x^28) - 1 - x2
Simplificando isso, cancelamos os termos semelhantes:
1 + x2 - x^28 - 1 - x2 = -x^28
Então, a expressão original fica:
-x^28x^2 = -18

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite da expressão simplificada:
limx 0 -18 = -18
Já que a expressão não depende mais de , o limite é simplesmente o valor constante.

Resposta

O limite é .

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