lim x 1 x^ln (x)x-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: .
Aqui, estamos lidando com cálculo de limites, especificamente quando a variável se aproxima de 1. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de exponenciais e logaritmos, além de técnicas de limites como a regra de L’Hôpital.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador quando se aproxima de 1.
  • Numerador:
  • Denominador:
Quando se aproxima de 1:
  • , então se torna , que é uma forma indeterminada.
  • se aproxima de 0.
Então, temos uma forma , que é indeterminada. Isso significa que podemos aplicar a regra de L’Hôpital.

Passo 3

A regra de L’Hôpital nos diz que se limx a f(x)g(x) = limx a f'(x)g'(x) resulta em uma forma indeterminada ou , então podemos derivar o numerador e o denominador separadamente:
Desde que o limite do lado direito exista.

Passo 4

Vamos derivar o numerador e o denominador:
  • Numerador: ln(f(x)) = ln(x^ln(x)) = ln(x) cdot ln(x) = (ln(x))^2
Para derivar f'(x)f(x) = 2 ln(x) cdot 1x , podemos usar logaritmos:
f'(x) = f(x) cdot 2 ln(x)x = x^ln(x) cdot 2 ln(x)x
Então, derivando ambos os lados em relação a g'(x) = 1 :
  • Denominador:
A derivada de é simplesmente:

Passo 5

Aplicando a regra de L’Hôpital:
limx 1 x^ln(x)x-1 = limx 1 f'(x)g'(x) = limx 1 x^ln(x) cdot 2 ln(x)x1 = limx 1 2 ln(x) cdot x^ln(x)x
Agora, vamos analisar cada parte desse limite:
  • 2 cdot 0 cdot 11 = 0
  • quando ,
  • quando , é 1
Substituindo esses valores:

Resposta

O limite é igual a 0.

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