Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
.
Aqui, estamos lidando com cálculo de limites, especificamente quando a variável
se aproxima de 1. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de exponenciais e logaritmos, além de técnicas de limites como a regra de L’Hôpital.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador quando
se aproxima de 1.
- Numerador:
- Denominador:
Quando
se aproxima de 1:
-
, então se torna , que é uma forma indeterminada. -
se aproxima de 0.
Então, temos uma forma
, que é indeterminada. Isso significa que podemos aplicar a regra de L’Hôpital.
Passo 3
A regra de L’Hôpital nos diz que se
resulta em uma forma indeterminada
ou
, então podemos derivar o numerador e o denominador separadamente:
Desde que o limite do lado direito exista.
Passo 4
Vamos derivar o numerador e o denominador:
- Numerador:
Para derivar
, podemos usar logaritmos:
Então, derivando ambos os lados em relação a
:
- Denominador:
A derivada de
é simplesmente:
Passo 5
Aplicando a regra de L’Hôpital:
Agora, vamos analisar cada parte desse limite:
-
-
quando , -
quando , é 1
Substituindo esses valores:
Resposta
O limite
é igual a 0.