lim x 0 e^x-1-x-x^22x^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite quando se aproxima de 0 da expressão . Isso envolve conhecimentos de limites e séries de Taylor para a função exponencial. Vamos precisar expandir em uma série para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a série de Taylor de e^x = 1 + x + x^22 + x^36 + x^424 + dots em torno de 0 é:
Isso significa que podemos substituir na expressão original por essa série para simplificar.

Passo 3

Substituindo e^x - 1 - x - x^22x^3 = (1 + x + x^22 + x^36 + x^424 + dots) - 1 - x - x^22x^3 pela série, temos:

Passo 4

Agora, vamos simplificar o numerador cancelando os termos iguais:
1 + x + x^22 + x^36 + x^424 + dots - 1 - x - x^22 = x^36 + x^424 + dots
Então, a expressão fica:
x^36 + x^424 + dotsx^3

Passo 5

Dividindo cada termo do numerador por x^36x^3 + x^424x^3 + dots = 16 + x24 + dots :
Agora, ao levar a 0, os termos com vão desaparecer.

Resposta

Portanto, o limite é .

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